Zestaw treningowy do matury podstawowej z matematyki


Spis treści



Arkusz zadań

W poniższym pliku PDF znajduje się zestaw zadań maturalnych przygotowany przez Centralną Komisję Egzaminacyjną.

Do każdego zadania z powyższego arkusza przygotowałem po dwa dodatkowe - analogiczne - zadania trenigowe.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie 1. (1 pkt)

Punkty A = (1,-2), C = (4,2) są dwoma wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Wysokość tego trójkąta jest równa

Zadanie 1a. (1 pkt)

Punkty A = (-3,-1),B = (2,5) są dwoma wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Pole tego trójkąta jest równe

Zadanie 1b. (1 pkt)

Punkty B = (0,0), C = (3,0) są dwoma wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Obwód tego trójkąta jest równy

Zadanie 2. (1 pkt)

Wskaż nierówność która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej

Zadanie 2a. (1 pkt)

Zaznacz na osi liczbowej punkty opisane równością |x + 1| = 4.

Zadanie 2b. (1 pkt)

Zaznacz na osi liczbowej przedział opisany nierównością |x + 1| ≤ 4.

Zadanie 3. (1 pkt)

Drut o długości 27 metrów pocięto na trzy części, których stosunek długości jest równy 2:3:4. Jaką długość ma najkrótsza z tych części?

Zadanie 3a. (1 pkt)

Trzy kamienie ważą łącznie 26 kg. Stosunek ich wag jest równy 1:5:7. Ile waży najcięższy z kamieni?

Zadanie 3b. (1 pkt)

Kasia kupiła w sklepie 4 bluzki. Stosunek ich cen jest równy 2:3:6:15. Jaka jest różnica w cenie między najdroższą a najtańszą bluzką, jeżeli wiadomo, że wszystkie kosztowały łącznie 390 zł?

Zadanie 4. (1 pkt)

Ile punktów wspólnych ma prosta o równaniu y = -x + 2 z okręgiem o środku w początku układu współrzędnych i promieniu 2?

Zadanie 4a. (1 pkt)

Ile punktów wspólnych ma prosta o równaniu y = 3 z okręgiem o środku w punkcie S(1, 2) i promieniu 1?

Zadanie 4b. (1 pkt)

Ile punktów wspólnych ma prosta o równaniu y = 2x + 1 z okręgiem o środku w punkcie S(2, -2) i promieniu 1?

Zadanie 5. (1 pkt)

Liczby: 1, 3, x-11 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Liczba x jest równa

Zadanie 5a. (1 pkt)

Liczby: 2x, 15, 8 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Liczba x jest równa

Zadanie 5b. (1 pkt)

Liczby: 2x+1, 7, 13x-2 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Liczba x jest równa

Zadanie 6. (1 pkt)

Na rysunku 1. jest przedstawiony wykres funkcji y = f(x)
Funkcja przedstawiona na rysunku 2. określona jest wzorem

Zadanie 6a. (1 pkt)

Funkcję f(x) = 7x - 5 przesunięto o wektor v = [0; -3] otrzymując funkcję g(x). Funkcja g(x) określona jest wzorem

Zadanie 6b. (1 pkt)

Funkcję f(x) = 7x - 5 przesunięto o wektor v = [5; 1] otrzymując funkcję g(x). Funkcja g(x) określona jest wzorem

Zadanie 7. (1 pkt)

Kąt α jest ostry i cosα = 0,75. Wtedy sinα jest równy

Zadanie 7a. (1 pkt)

Kąt α jest ostry i sinα = 4/5. Wtedy cosα jest równy

Zadanie 7b. (1 pkt)

Kąt α jest ostry i sinα = √2/2. Wtedy tgα jest równy

Zadanie 8. (1 pkt)

Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział [-2, ∞).

Zadanie 8a. (1 pkt)

Wskaż zbiór wartości funkcji f(x)=(x-3)2 + 2

Zadanie 8b. (1 pkt)

Wskaż zbiór wartości funkcji f(x)= -(x+3)2 - 5

Zadanie 9. (1 pkt)

Liczba log36 jest równa

Zadanie 9a. (1 pkt)

Liczba log321 - log37 jest równa

Zadanie 9b. (1 pkt)

Liczba log510 + log52,5 jest równa

Zadanie 10. (1 pkt)

Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których obie cyfry są parzyste?

Zadanie 10a. (1 pkt)

Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których obie cyfry są nieparzyste?

Zadanie 10b. (1 pkt)

Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w których wszystkie trzy cyfry są parzyste?

Zadanie 11. (1 pkt)

Wysokość stożka jest równa 15 cm, a promień podstawy 4 cm. Objętość stożka jest równa

Zadanie 11a. (1 pkt)

Objętość stożka jest równa 24π cm3, a promień podstawy 6 cm. Wysokość stożka jest równa

Zadanie 11b. (1 pkt)

Tworząca stożka jest równa 5 cm, a promień podstawy jest równy 6 cm. Pole powierzchni stożka jest równe

Zadanie 11c. (1 pkt)

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest półkolem o promieniu 12 cm. Podstawa tego stożka jest kołem o promieniu

Zadanie 12. (1 pkt)

Wyniki sprawdzianu z matematyki są przedstawione na diagramie.Mediana ocen uzyskanych przez uczniów jest równa

Zadanie 12a. (1 pkt)

W drużynie koszykarskiej zawodnicy mają wzrost odpowiednio: 191 cm, 210 cm, 205 cm, 204 cm, 212 cm. Mediana zbioru tych wartości wynosi

Zadanie 12b. (1 pkt)

W drużynie siatkarskiej zawodnicy mają wzrost odpowiednio: 207 cm, 205 cm, 205 cm, 197 cm, 212 cm, 216 cm. Mediana zbioru tych wartości wynosi

Zadanie 13. (1 pkt)

Prosta l ma równanie y = 2x - 11. Wskaż równanie prostej równoległej do l.

Zadanie 13a. (1 pkt)

Prosta l ma równanie y = 2x - 11. Wskaż równanie prostej prostopadłej do l.

Zadanie 13b. (1 pkt)

Prosta l ma równanie 2y - x = 4. Wskaż równanie prostej równoległej do l.

Zadanie 14. (1 pkt)

Liczba rozwiązań równania jest równa

Zadanie 14a. (1 pkt)

Liczba rozwiązań równania jest równa

Zadanie 14b. (1 pkt)

Liczba rozwiązań równania jest równa

Zadanie 15. (1 pkt)

Wskaż przedział, który jest zbiorem rozwiązań nierówności

Zadanie 15a. (1 pkt)

Wskaż przedział, który jest zbiorem rozwiązań nierówności

Zadanie 15b. (1 pkt)

Wskaż przedział, który jest zbiorem rozwiązań nierówności

Zadanie 16. (1 pkt)

Przekątna prostopadłościanu o wymiarach 3 na 4 na 5 ma długość

Zadanie 16a. (1 pkt)

Dany jest prostopadłościan o bokach długości 1 cm, 2 cm i 3 cm. Przekątna tego prostopadłościanu ma długość

Zadanie 16b. (1 pkt)

Dany jest sześcian o przekątnej długości 4√3. Objętość tego sześcianu wynosi

Zadanie 17. (1 pkt)

Liczba x = -7 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = (3-a)x + 7 dla

Zadanie 17a. (1 pkt)

Liczba x = 2 jest miejscem zerowym funkcji f(x) = mx2 - m - 9 dla

Zadanie 17b. (1 pkt)

Dla jakiego parametru m liczba x = 1 jest miejscem zerowym funkcji f(x) = 2x2 + mx?

Zadanie 18. (1 pkt)

Zbiorem rozwiązań nierówności x2 ≥ 9 jest

Zadanie 18a. (1 pkt)

Zbiorem rozwiązań nierówności x2 ≥ 25 jest

Zadanie 18b. (1 pkt)

Zbiorem rozwiązań nierówności x2 + 2x ≥ -1 jest

Zadanie 19. (1 pkt)

Zaznaczony na rysunku kąt α jest równy

Zadanie 19a. (1 pkt)

Zaznaczony na rysunku kąt α jest równy

Zadanie 19b. (1 pkt)

Zaznaczony na rysunku kąt α jest równy

Zadanie 20. (1 pkt)

Która z liczb jest rozwiązaniem równania 2(x - 1) + x = x - 3(2 - 3x)?

Zadanie 20a. (1 pkt)

Która z liczb jest rozwiązaniem równania 5x - 7 = 0∙(x + 11) - 2∙(1 - 3x)?

Zadanie 20b. (1 pkt)

Która z liczb jest rozwiązaniem równania 2x2 - 7x = -30 - 2x(1 - x)?

Zadanie 21. (1 pkt)

Liczba 240 ∙ 420 jest równa

Zadanie 21a. (1 pkt)

Liczba 77 ⋅ 78 jest równa

Zadanie 21b. (1 pkt)

Liczba 517 ⋅ 617 jest równa

Zadanie 22. (1 pkt)

Wskaż liczbę której 4% jest równe 8.

Zadanie 22a. (1 pkt)

Wskaż liczbę o 8% mniejszą od 200.

Zadanie 22b. (1 pkt)

Przed obniżką rower kosztował 230 zł, a po obniżce 207 zł. Cenę roweru obniżono o

Zadanie 23. (1 pkt)

Kąt α jest ostry i cosα = 0,9. Wówczas

Zadanie 23a. (1 pkt)

Kąt α jest ostry i sinα = 0,8. Wówczas

Zadanie 23b. (1 pkt)

Kąt α jest ostry i sinα = cosα. Wówczas

Zadanie 24. (1 pkt)

Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy 4, a czwarty wyraz tego ciągu jest równy (-2). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Zadanie 24a. (1 pkt)

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 1, a drugi wyraz tego ciągu jest równy 2. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy

Zadanie 24b. (1 pkt)

Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy 5, a iloraz tego ciągu jest równy 3. Trzydziesty wyraz tego ciągu jest równy

Zadanie 25. (1 pkt)

Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8} wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba p jest prawdopodobieństwem wylosowania liczby podzielnej przez 3. Wtedy

Zadanie 25a. (1 pkt)

Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8} wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba p jest prawdopodobieństwem wylosowania liczby podzielnej przez 2. Wtedy

Zadanie 25b. (1 pkt)

Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba p jest prawdopodobieństwem wylosowania liczby podzielnej przez 2 lub przez 3. Wtedy

Zadanie 26. (2 pkt)

Dany jest ciąg (an) określony wzorem dla n ≥ 1. Oblicz a2 i a5.

Zadanie 26a. (2 pkt)

Dany jest ciąg (an) określony wzorem dla n ≥ 1. Oblicz wartość wyrażenia a20 - a10.

Zadanie 26b. (2 pkt)

Dany jest ciąg (an) określony wzorem an = n + |1 - 3n| dla n ≥ 1. Oblicz wyraz a37 i a103.

Zadanie 27. (2 pkt)

Rozwiąż równanie x3 - 12x2 + x - 12 = 0.

Zadanie 27a. (2 pkt)

Rozwiąż równanie 2x3 - 16x2 - 8x + 64 = 0.

Zadanie 27b. (2 pkt)

Rozwiąż równanie 4x4 - 9x2 = 0.

Zadanie 28. (2 pkt)

Punkt E leży na ramieniu BC trapezu ABCD, w którym AB||CD. Udowodnij, że |∠AED| = |∠BAE| + |∠CDE|.

Zadanie 28a. (2 pkt)

Punkt E leży na ramieniu BC trapezu ABCD, w którym AB||CD. Udowodnij, że jeżeli |EC| = |CD| oraz |EB| = |BA| to kąt AED jest prosty.

Zadanie 28b. (2 pkt)

Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak jak na poniższym obrazku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że |AD| = |BE|.

Zadanie 29. (2 pkt)

Podaj przykład liczb całkowitych dodatnich a i b, spełniających .

Zadanie 29a. (2 pkt)

Podaj przykład liczb całkowitych dodatnich x i y, spełniających .

Zadanie 29b. (2 pkt)

Podaj przykład liczb ujemnych x i y, spełniających .

Zadanie 30. (2 pkt)

Dany jest prostokąt o bokach a i b oraz prostokąt o bokach c i d. Długość boku c to 90% długości boku a. Długość boku d to 120% długości boku b. Oblicz, ile procent pola prostokąta o bokach a i b stanowi pole prostokąta o bokach c i d.

Zadanie 30a. (2 pkt)

Dany jest prostokąt o bokach a i b oraz prostokąt o bokach c i d. Długość boku c to 70% długości boku a. Długość boku d to 130% długości boku b. Oblicz, który prostokąt ma mniejsze pole i o ile procent.

Zadanie 30b. (2 pkt)

Dany jest trójkąt równoboczny o boku a oraz kwadrat o boku b. Długość boku b jest dwa razy mniejsza od długości boku a. Oblicz, ile razy pole trójkąta jest większe od pola kwadratu.

Zadanie 31. (6 pkt)

Dwa pociągi towarowe wyjechały z miast A i B oddalonych od siebie o 540 km. Pociąg jadący z miasta A do miasta B wyjechał o godzinę wcześniej niż pociąg jadący z miasta B do miasta A i jechał z prędkością o 9 km/h mniejszą. Pociągi te minęły się w połowie drogi. Oblicz z jakimi prędkościami jechały te pociągi.

Zadanie 31a. (6 pkt)

W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię 240 m2. Basen w drugim hotelu ma powierzchnię 350 m2 oraz jest o 5 m dłuższy i o 2 m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz jakie wymiary ma pierwszy basen.

Zadanie 31b. (6 pkt)

Prostokątna działka ma powierzchnię 300 m2. Wiadomo, że jeden bok jest o 5 m dłuższy od drugiego. Ile kosztowało ogrodzenie tej działki, jeżeli za 1 m siatki właściciel zapłacił 30 zł?

Zadanie 32. (4 pkt)

Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się 9 kul: 4 białe, 3 czarne i 2 zielone. W drugim pojemniku jest 6 kul: 2 białe, 3 czarne i 1 zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru.

Zadanie 32a. (4 pkt)

Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się 9 kul: 4 białe, 3 czarne i 2 zielone. W drugim pojemniku jest 6 kul: 2 białe, 3 czarne i 1 zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul różnych kolorów.

Zadanie 32b. (4 pkt)

Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się 11 kul: 7 białych i 4 czarne. W drugim pojemniku jest 6 kul: 3 białe i 3 czarne. Z każdego pojemnika losujemy po dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania czterech kul czarnych.

Zadanie 33. (5 pkt)

Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 8. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 40°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 33a. (5 pkt)

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa √2. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 33b. (5 pkt)

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 1, a wysokość jest równa 2. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.