Jesteś tu: Działy tematyczneLiczby zespoloneInterpretacja geometryczna liczby zespolonej

Interpretacja geometryczna liczby zespolonej

W rozdziale Definicja powiedzieliśmy sobie, że każdej liczbie zespolonej z = a + bi odpowiada uporządkowana para liczb (a, b). Przykładowo:
Liczba zespolona zapisana w postaci ogólnej Liczba zespolona zapisana jako punkt
a + bi (a, b)
2 + 5i (2, 5)
5 + 2i (5, 2)
7 - i (7, -1)
-8 - 2i (-8, -2)
i (0, 1)
1 (1, 0)
0 (0, 0)
12 - √5 + (7 - √2)i (12 - √5, 7 - √2)
W związku z tym możemy interpretować liczby zespolone jako punkty na płaszczyźnie.
Na osi x-ów będziemy zaznaczać część rzeczywistą liczby zespolonej, a na osi y-ów część urojoną.
Oto przykłady kilku konkretnych liczb zespolonych zaznaczonych w układzie współrzędnych:
W powyższym układzie współrzędnych zaznaczyłem również liczby sprzężone do z1, z2 oraz z4. Zauważ, że są one po prostu odbiciami symetrycznymi względem osi x-ów.
Zaznaczymy teraz jeden ogólny punkt na płaszczyźnie zespolonej i określimy dla niego kilka własności.
Zauważmy na początku, że odległość liczby zespolonej z = a + bi od początku układu współrzędnych, z twierdzenia Pitagorasa, wyraża się wzorem: Czyli jest to po prostu moduł tej liczby z.
Literką φ (czytamy: fi) oznaczyliśmy kąt między osią Re, a półprostą wychodzącą z początku układu współrzędnych i przechodzącą przez punkt z.
Oczywiście nie trzeba obowiązkowo stosować literki φ na oznaczenie tego kąta. Można posługiwać się dowolną inną literką, np.: α, β, γ.
Dla ułatwienia przyszłych rachunków miarę zaznaczonego kąta φ będziemy zazwyczaj wyrażać w radianach (a nie w stopniach). Możemy zatem napisać, że φ ∈ R.
Liczbę φ nazywamy argumentem liczby z i oznaczamy arg z.
Dla liczby z którą zaznaczyliśmy w powyższym układzie współrzędnych mamy: Korzystając wprost z definicji funkcji trygonometrycznych dla trójkąta prostokątnego narysowanego w powyższym układzie współrzędnych, otrzymujemy: Wzory po prawej stronie otrzymaliśmy z tych po lewej, po prostu podstawiając do nich wzór na moduł. Dla wygody dalej będziemy posługiwali się głównie tymi wzorami po lewej (bo są krótsze w zapisie). Bezpośrednio z nich otrzymujemy, że: Możemy zatem zapisać, że: Wzór który otrzymaliśmy: to postać trygonometryczna liczby zespolonej z = a + bi.
Wiemy już, że możemy przedstawić jedną liczbę zespoloną na trzy różne sposoby:
  • w postaci ogólnej z = a + bi,
  • jako punkt (a, b) na płaszczyźnie,
  • w postaci trygonometrycznej z = |z|(cosφ + isinφ),
Każda z nich ma swoje plusy i minusy. Zaletą postaci trygonometrycznej jest to, że umożliwia w łatwy sposób podnoszenie liczb zespolonych do dużych potęg. Więcej na ten temat dowiesz się w rozdziale Wzór de Moivre'a - potęgowanie liczb zespolonych.
Teraz przećwiczymy zapisywanie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej.
Przykład 1. Dla liczby zespolonej z = √3 + i wyznacz moduł, argument oraz postać trygonometryczną.
Rozwiązanie:
Zacznijmy od zaznaczenia liczby z w układzie współrzędnych: Obliczamy moduł z twierdzenia Pitagorasa: Teraz obliczamy argument, np. korzystając z definicji sinusa: Zatem: Możemy nawet zapisać, że: Teraz zapisujemy postać trygonometryczną, podstawiając do wzoru wyliczone przed chwilą wartości: Możemy jeszcze sprawdzić, że obliczając wartości liczbowe funkcji trygonometrycznych w powyższym wzorze, otrzymamy wyjściową postać ogólną: