Matura 2013 styczeń

Zadanie 1. (1 pkt)

Liczbę \(x=2^2\cdot 16^{-4}\) można zapisać w postaci
A. \( x=2^{14} \) B. \( x=2^{-14} \) C. \( x=32^{-2} \) D. \( x=2^{-6} \)

Zadanie 2. (1 pkt)

Hania pokonuje drogę \(S=100\ m\) z domu do szkoły w czasie \(30\ min\) . Z jaką średnią prędkością idzie Hania?
A. \( 0{,}05\frac{km}{h} \) B. \( 0{,}2\frac{km}{h} \) C. \( 5\frac{km}{h} \) D. \( 3{,}(3)\frac{km}{h} \)

Zadanie 3. (1 pkt)

Prostą przechodzącą przez punkt \(A = (1,1)\) i równoległą do prostej \(y=0{,}5x-1\) opisuje równanie
A. \( y=-2x-1 \) B. \( y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} \) C. \( y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} \) D. \( y=2x-1 \)

Zadanie 4. (1 pkt)

Dziedziną wyrażenia wymiernego \(\frac{36-x^2}{(6-x)(x^3-1)}\) jest zbiór
A. \( \mathbb{R} \backslash \{1,6 \} \) B. \( \mathbb{R} \backslash \{-6,-1,6 \} \) C. \( \mathbb{R} \backslash \{-6,6 \} \) D. \( \mathbb{R} \backslash \{-6,1,6 \} \)

Zadanie 5. (1 pkt)

Gdy przesuniemy wykres funkcji \(f(x)=2x-3\) o \(2\) jednostki w prawo i \(4\) jednostki w górę, to otrzymamy wykres funkcji opisanej wzorem
A. \( y=2(x-2)+4 \) B. \( y=2(x-2)-4 \) C. \( y=2(x-2)+1 \) D. \( y=2(x+2)+4 \)

Zadanie 6. (1 pkt)

Zbiorem wartości funkcji \(f\) określonej wzorem \(f(x)=3^{x+2}-3\) jest zbiór
A. \( (-2;\infty ) \) B. \( (-3;-2) \) C. \( (3;\infty ) \) D. \( (-3;\infty ) \)

Zadanie 7. (1 pkt)

Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym o wysokości \(9\) jest równe
A. \( 36\pi \) B. \( 9\pi \) C. \( 18\sqrt{3}\pi \) D. \( 12\pi \)

Zadanie 8. (1 pkt)

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości \(8\) i \(6\). Sinus większego z kątów ostrych tego trójkąta jest równy
A. \( \begin{split} \frac{3}{5} \end{split} \) B. \( \begin{split} \frac{3}{4} \end{split} \) C. \( \begin{split} \frac{4}{5} \end{split} \) D. \( \begin{split} \frac{4}{3} \end{split} \)

Zadanie 9. (1 pkt)

Proste \(y=-3x+4\) i \(y=( \frac{1}{3}a^2-\frac{4}{3} )x\) są prostopadłe, jeżeli
A. \( a=-2\ \) lub \(\ a=2\) B. \( a=2 \) C. \( a=\sqrt{5} \) D. \( a=-\sqrt{5}\ \) lub \(\ a=\sqrt{5}\)

Zadanie 10. (1 pkt)

Odcinek długości \(2{,}4\ m\) podzielono w stosunku \(2:3:5\). Najdłuższy z wyznaczonych odcinków ma długość
A. \( 120\ cm \) B. \( 0{,}72\ m \) C. \( 480\ mm \) D. \( 14\ dm \)

Zadanie 11. (1 pkt)

Zbiorem rozwiązań nierówności \(x^2<4\) jest
A. \( (-2;2) \) B. \( (-\infty ;-2)\cup (2;\infty ) \) C. \( (-\infty ;2) \) D. \( \langle -2;2 \rangle \)

Zadanie 12. (1 pkt)

Suma odwrotności pierwiastków wielomianu \(W(x)=4x^3-x^2-4x+1\) jest równa
A. \( 4 \) B. \( -0{,}25 \) C. \( 6 \) D. \( -4 \)

Zadanie 13. (1 pkt)

Liczba jest równa
A. 6
B. -3
C. 3
D. -6

Zadanie 14. (1 pkt)

Liczba \(x=3\sqrt{2}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=x^2-2a\), gdy \(a\) jest równe
A. \( 18 \) B. \( -18 \) C. \( 9 \) D. \( 18\sqrt{2} \)

Zadanie 15. (1 pkt)

Wyniki sprawdzianu z matematyki przedstawione są w tabeli: Mediana ocen ze sprawdzianu jest równa
A. \( 3{,}5 \) B. \( 3 \) C. \( 4 \) D. \( 4{,}5 \)

Zadanie 16. (1 pkt)

Wyrażenie \(\begin{split} \frac{1-\sin^{2} \alpha }{\frac{1}{\operatorname{tg}^2\alpha }} \end{split}\), gdzie \(\alpha \) jest kątem ostrym, można zapisać w postaci
A. \( \sin^{2} \alpha \) B. \( \begin{split} \frac{\cos^4\alpha }{\sin \alpha } \end{split} \) C. \( \sin \alpha \cdot \cos \alpha \) D. \( \begin{split} \frac{1}{\sin \alpha } \end{split} \)

Zadanie 17. (1 pkt)

Funkcja kwadratowa \(y=x^2+bx+c\) jest malejąca dla \(x\in (-\infty ;2 \rangle\) a zbiorem jej wartości jest przedział \(\langle -4;\infty )\). Postać kanoniczna tej funkcji opisana jest wzorem
A. \( f(x)=(x-2)^2-4 \) B. \( f(x)=(x+2)^2+4 \) C. \( f(x)=(x+4)^2+2 \) D. \( f(x)=(x-4)^2+2 \)

Zadanie 18. (1 pkt)

Ciąg \(a_n\) jest określony wzorem \(a_n=(-2)^{3n}\cdot (n^2-4)\) dla \(n\ge 1\). Wówczas
\( a_2=64 \) \( a_2=0 \) \( a_2=-64 \) \( a_2=128 \)

Zadanie 19. (1 pkt)

Odległość z Elbląga do Legnicy jest równa \(468\) km, natomiast po zaokrągleniu do setek kilometrów \(500\) km. Błąd względny tego przybliżenia jest równy
\( 32 \) km \( 68 \) km około \( 6{,}8\% \) \( 0{,}32\% \)

Zadanie 20. (1 pkt)

Liczby \(2;\ 2x-1;\ 0{,}5\) (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem monotonicznego ciągu geometrycznego dla
\( x=0 \) \( x=0 \) lub \(x=1\) \( x=1 \) \( x=-1 \)

Zadanie 21. (1 pkt)

Zbiór rozwiązań nierówności \(|x+3|>4\) jest przedstawiony na rysunku

Zadanie 22. (1 pkt)

W pudełku są \(4\) kule białe i \(x\) kul czerwonych. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej jest równe \(\frac{3}{5}\), gdy
\( x=6 \) \( x=8 \) \( x=10 \) \( x=12 \)

Zadanie 23. (1 pkt)

Objętość sześcianu, w którym przekątna ściany bocznej ma długość \(\frac{\sqrt{2}}{4}\), jest równa
\( \frac{1}{64} \) \( \frac{1}{16} \) \( 16 \) \( 64 \)

Zadanie 24. (2 pkt)

Proste \(DE\) i \(CB\) oraz \(EF\) i \(AC\) są równoległe. Oblicz długość odcinka \(EB\), jeżeli \(AE = 2{,}5\), \(DE = 3\) oraz \(FB=4\).

Zadanie 25. (2 pkt)

Oblicz wartość wyrażenia \(\operatorname{tg}^2\alpha -3\cos ^2\alpha \), jeżeli \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\) i \(\alpha \) jest kątem ostrym.

Zadanie 26. (2 pkt)

Uzasadnij, że równanie \(x^2+(b-2)x-2b=0\) dla dowolnej liczby rzeczywistej \(b\) ma przynajmniej jedno rozwiązanie.

Zadanie 27. (2 pkt)

Wykaż, że wysokość \(CD\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) poprowadzona z wierzchołka \(C\) kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki \(AD\) i \(DB\), których stosunek długości jest równy stosunkowi kwadratów długości przyprostokątnych odpowiednio \(AC\) i \(BC\) tego trójkąta.

Zadanie 28. (4 pkt)

O pewnym ciągu arytmetycznym wiadomo, że ma dziesięć wyrazów. Suma jego wyrazów o numerach nieparzystych jest równa \(75\), a suma wyrazów o numerach parzystych jest równa \(90\). Wyznacz pierwszy wyraz tego ciągu.

Zadanie 29. (4 pkt)

Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Co jest bardziej prawdopodobne: wyrzucenie jednej reszki czy wyrzucenie orła w co drugim rzucie?

Zadanie 30. (6 pkt)

Wyznacz współrzędne punktu \(B\), który jest symetryczny do punktu \(A = (3, 2)\) względem prostej \(y=-\frac{1}{3}x-6\).

Zadanie 31. (5 pkt)

Krawędź sześcianu jest o \(4\) krótsza od jego przekątnej. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.