Matura 2022 maj

Szybka nawigacja do zadania numer: 5 10 15 20 25 30 35 .

Liczba \((2\sqrt{8}-3\sqrt{2})^2\) jest równa

A.\( 2 \)

B.\( 1 \)

C.\( 26 \)

D.\( 14 \)

Dodatnie liczby \(x\) i \(y\) spełniają warunek \(2x=3y\). Wynika stąd, że wartość wyrażenia \(\frac{x^2+y^2}{x\cdot y}\) jest równa

A.\( \frac{2}{3} \)

B.\( \frac{13}{6} \)

C.\( \frac{6}{13} \)

D.\( \frac{3}{2} \)

Liczba \(4\log_42+2\log_48\) jest równa

A.\( 6\log_410 \)

B.\( 16 \)

C.\( 5 \)

D.\( 6\log_416 \)

Cena działki po kolejnych dwóch obniżkach, za każdym razem o \(10\%\) w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie, jest równa \(78\ 732\) zł. Cena tej działki przed obiema obniżkami była, w zaokrągleniu do \(1\) zł, równa

A.\( 98\ 732 \) zł

B.\( 97\ 200\) zł

C.\( 95\ 266\) zł

D.\( 94\ 478\) zł

Liczba \(3^{2+\frac{1}{4}}\) jest równa

A.\( 3^2\cdot \sqrt[4]{3} \)

B.\( \sqrt[4]{3^3} \)

C.\( 3^2+\sqrt[4]{3} \)

D.\( 3^2+\sqrt{3^4} \)

Rozwiązaniem układu równań \begin{cases} 11x-11y=1 \\ 22x+22y=-1 \end{cases} jest para liczb: \(x=x_0\), \(y=y_0\). Wtedy

A.\( x_0\gt 0 \) i \(y_0 \gt 0\)

B.\( x_0\gt 0 \) i \(y_0 \lt 0\)

C.\( x_0\lt 0 \) i \(y_0 \gt 0\)

D.\( x_0\lt 0 \) i \(y_0 \lt 0\)

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{2}{5}-\frac{x}{3}\gt \frac{x}{5}\) jest przedział

A.\( (-\infty, 0) \)

B.\( (0, +\infty) \)

C.\( \left(-\infty, \frac{3}{4}\right) \)

D.\( \left(\frac{3}{4},+\infty\right) \)

Iloczyn wszystkich rozwiązań równania \(2x(x^2-9)(x+1)=0\) jest równy

A.\( (-3) \)

B.\( 3 \)

C.\( 0 \)

D.\( 9 \)

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Iloczyn \(f(-3)\cdot f(0)\cdot f(4)\) jest równy

A.\( (-12) \)

B.\( (-8) \)

C.\( 0 \)

D.\( 16 \)

Na rysunku 1. przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej na zbiorze \(\langle -4,5\rangle \).

Funkcję \(g\) określono za pomocą funkcji \(f\). Wykres funkcji \(g\) przedstawiono na rysunku 2.

Wynika stąd, że

A.\( g(x)=f(x)-2 \)

B.\( g(x)=f(x-2) \)

C.\( g(x)=f(x)+2 \)

D.\( g(x)=f(x+2) \)

Miejscem zerowym funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=-\frac{1}{3}(x+3)+5\) jest liczba

A.\( (-3) \)

B.\( \frac{9}{2} \)

C.\( 5 \)

D.\( 12 \)

Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=3x^2+bx+c\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W=(-3,2)\). Wzór tej funkcji w postaci kanonicznej to

A.\( f(x)=3(x-3)^2+2 \)

B.\( f(x)=3(x+3)^2+2 \)

C.\( f(x)=(x-3)^2+2 \)

D.\( f(x)=(x+3)^2+2 \)

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{2n^2-30n}{n}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Wtedy \(a_7\) jest równy

A.\( (-196) \)

B.\( (-32) \)

C.\( (-26) \)

D.\( (-16) \)

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), \(a_5=-31\) oraz \(a_{10}=-66\). Różnica tego ciągu jest równa

A.\( (-7) \)

B.\( (-19{,}4) \)

C.\( 7 \)

D.\( 19{,}4 \)

Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), są dodatnie i \(9a_5=4a_3\). Wtedy iloraz tego ciągu jest równy

A.\( \frac{2}{3} \)

B.\( \frac{3}{2} \)

C.\( \frac{2}{9} \)

D.\( \frac{9}{2} \)

Liczba \(\cos 12^\circ \cdot \sin 78^\circ +\sin 12^\circ \cdot \cos 78^\circ \) jest równa

A.\( \frac{1}{2} \)

B.\( \frac{\sqrt{2}}{2} \)

C.\( \frac{\sqrt{3}}{2} \)

D.\( 1 \)

Punkty \(A,\ B,\ C\) leżą na okręgu o środku \(S\). Punkt \(D\) jest punktem przecięcia cięciwy \(AC\) i średnicy okręgu poprowadzonej z punktu \(B\). Miara kąta \(BSC\) jest równa \(\alpha \), a miara kąta \(ADB\) jest równa \(\gamma \) (zobacz rysunek).

Wtedy kąt \(ABD\) ma miarę

A.\( \frac{\alpha }{2}+\gamma -180^\circ \)

B.\( 180^\circ -\frac{\alpha }{2}-\gamma \)

C.\( 180^\circ -\alpha -\gamma \)

D.\( \alpha +\gamma -180^\circ \)

Punkty \(A,\ B,\ P\) leżą na okręgu o środku \(S\) i promieniu \(6\). Czworokąt \(ASBP\) jest rombem, w którym kąt ostry \(PAS\) ma miarę \(60^\circ \) (zobacz rysunek).

Pole zakreskowanej na rysunku figury jest równe

A.\( 6\pi \)

B.\( 9\pi \)

C.\( 10\pi \)

D.\( 12\pi \)

Wysokość trójkąta równobocznego jest równa \(6\sqrt{3}\). Pole tego trójkąta jest równe

A.\( 3\sqrt{3} \)

B.\( 4\sqrt{3} \)

C.\( 27\sqrt{3} \)

D.\( 36\sqrt{3} \)

Boki równoległoboku mają długości \(6\) i \(10\), a kąt rozwarty między tymi bokami ma miarę \(120^\circ \). Pole tego równoległoboku jest równe

A.\( 30\sqrt{3} \)

B.\( 30 \)

C.\( 60\sqrt{3} \)

D.\( 60 \)

Punkty \(A=(-2,6)\) oraz \(B=(3,b)\) leżą na prostej, która przechodzi przez początek układu współrzędnych. Wtedy \(b\) jest równe

A.\( 9 \)

B.\( (-9) \)

C.\( (-4) \)

D.\( 4 \)

Dane są cztery proste \(k,\ l,\ m,\ n\) o równaniach: \begin{split} &k{:}\ \ y=-x+1\qquad\qquad &l{:}\ \ y=\frac{2}{3}x+1\\[6pt] &m{:}\ \ y=-\frac{3}{2}x+4\qquad\qquad &n{:}\ \ y=-\frac{2}{3}x-1 \end{split} Wśród tych prostych prostopadłe są

A.proste \(k\) oraz \(l\).

B.proste \(k\) oraz \(n\)

C.proste \(l\) oraz \(m\)

D.proste \(m\) oraz \(n\)

Punkty \(K=(4,-10)\) i \(L=(b,2)\) są końcami odcinka \(KL\). Pierwsza współrzędna środka odcinka \(KL\) jest równa \((−12)\). Wynika stąd, że

A.\( b=-28 \)

B.\( b=-14 \)

C.\( b=-24 \)

D.\( b=-10 \)

Punkty \(A=(-4,4)\) i \(B=(4,0)\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Przekątna tego kwadratu ma długość

A.\( 4\sqrt{10} \)

B.\( 4\sqrt{2} \)

C.\( 4\sqrt{5} \)

D.\( 4\sqrt{7} \)

Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości \(7\) cm i \(10\) cm. Wysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o \(2\) cm. Wtedy objętość graniastosłupa jest równa

A.\( 560\ \text{cm}^3\)

B.\( 280\ \text{cm}^3 \)

C.\( \frac{280}{3}\ \text{cm}^3 \)

D.\( \frac{560}{3}\ \text{cm}^3 \)

Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(a\). Punkty \(E,\ F,\ G,\ B\) są wierzchołkami ostrosłupa \(EFGB\) (zobacz rysunek).

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa \(EFGB\) jest równe

A.\( a^2 \)

B.\( \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \)

C.\( \frac{3}{2}a^2 \)

D.\( \frac{3+\sqrt{3}}{2}a^2 \)

Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez \(5\) jest

A.\( 9\cdot 8\cdot 7\cdot 2 \)

B.\( 9\cdot 10\cdot 10\cdot 1 \)

C.\( 9\cdot 10\cdot 10\cdot 2 \)

D.\( 9\cdot 9\cdot 8\cdot 1 \)

Średnia arytmetyczna zestawu sześciu liczb: \(2x,\ 4,\ 6,\ 8,\ 11,\ 13\) jest równa \(5\). Wynika stąd, że

A.\( x=-1 \)

B.\( x=7 \)

C.\( x=-6 \)

D.\( x=6 \)

Rozwiąż nierówność: \[3x^2-2x-9\ge7\]

\(x\in (-\infty ,-2\rangle \cup \left\langle \frac{8}{3},+\infty \right)\)

W ciągu arytmetycznym \(a_n\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), \(a_1=-1\) i \(a_4=8\). Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.

\(14750\)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\ne a\), spełniona jest nierówność \[\frac{a^2+b^2}{2}\gt\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\]

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =2\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin^{2} \alpha \).

\(\frac{4}{5}\)

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Dwusieczna kąta \(BAC\) przecina bok \(BC\) w takim punkcie \(D\), że trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta \(BAC\).

\(72^\circ \)

Ze zbioru dziewięcioelementowego \(M=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie \(A\) polega na wylosowaniu dwóch liczb ze zbioru \(M\), których iloczyn jest równy \(24\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\).

\(\frac{4}{81}\)

Wykres funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma z prostą o równaniu \(y=6\) dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty \(A=(-5,0)\) i \(B=(3,0)\) należą do wykresu funkcji \(f\). Oblicz wartości współczynników \(a\), \(b\) oraz \(c\).

\(a=-\frac{3}{8}\), \(b=-\frac{3}{4}\), \(c=\frac{45}{8}\)