Matura 2010 maj

Zadanie 1. (1 pkt)

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności \(|x + 7| > 5\).

Zadanie 2. (1 pkt)

Spodnie po obniżce ceny o \(30\%\) kosztują \(126\) zł. Ile kosztowały spodnie przed obniżką?
\(163{,}80\) zł
\(180\) zł
\(294\) zł
\(420\) zł

Zadanie 3. (1 pkt)

Liczba \(\left (\frac{2^{-2}\cdot 3^{-1}}{2^{-1}\cdot 3^{-2}} \right )^0\) jest równa
\( 1 \)
\( 4 \)
\( 9 \)
\( 36 \)

Zadanie 4. (1 pkt)

Liczba \( \log_{4}8+\log_{4}2 \) jest równa
\(1 \)
\(2 \)
\(\log_{4}6 \)
\(\log_{4}10 \)

Zadanie 5. (1 pkt)

Dane są wielomiany \(W(x)=-2x^3+5x^2-3\) oraz \(P(x)=2x^3+12x\). Wielomian \(W(x) + P(x)\) jest równy
\( 5x^2+12x-3 \)
\( 4x^3+5x^2+12x-3 \)
\( 4x^6+5x^2+12x-3 \)
\( 4x^3+12x^2-3 \)

Zadanie 6. (1 pkt)

Rozwiązaniem równania \(\frac{3x-1}{7x+1}=\frac{2}{5}\) jest
\( 1 \)
\( \frac{7}{3} \)
\( \frac{4}{7} \)
\( 7 \)

Zadanie 7. (1 pkt)

Do zbioru rozwiązań nierówności \((x-2)(x+3)<0\) należy liczba
\( 9 \)
\( 7 \)
\( 4 \)
\( 1 \)

Zadanie 8. (1 pkt)

Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=-3x^2+3\) jest parabola o wierzchołku w punkcie
\( (3,0) \)
\( (0,3) \)
\( (-3,0) \)
\( (0,-3) \)

Zadanie 9. (1 pkt)

Prosta o równaniu \(y=-2x+(3m+3)\) przecina w układzie współrzędnych oś \(Oy\) w punkcie \((0,2)\). Wtedy
\( m=-\frac{2}{3} \)
\( m=-\frac{1}{3} \)
\( m=\frac{1}{3} \)
\( m=\frac{5}{3} \)

Zadanie 10. (1 pkt)

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji \(y=f(x)\). Które równanie ma dokładnie trzy rozwiązania?
\( f(x)=0 \)
\( f(x)=1 \)
\( f(x)=2 \)
\( f(x)=3 \)

Zadanie 11. (1 pkt)

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) dane są: \(a_3=13\) i \(a_5=39\). Wtedy wyraz \(a_1\) jest równy
\( 13 \)
\( 0 \)
\( -13 \)
\( -26 \)

Zadanie 12. (1 pkt)

W ciągu geometrycznym \((a_n)\) dane są: \(a_1 = 3\) i \(a_4 = 24\). Iloraz tego ciągu jest równy
\( 8 \)
\( 2 \)
\( \frac{1}{8} \)
\( -\frac{1}{2} \)

Zadanie 13. (1 pkt)

Liczba przekątnych siedmiokąta foremnego jest równa
\( 7 \)
\( 14 \)
\( 21 \)
\( 28 \)

Zadanie 14. (1 pkt)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{3}{4}\). Wartość wyrażenia \(2-\cos ^2\alpha \) jest równa
\( \frac{25}{16} \)
\( \frac{3}{2} \)
\( \frac{17}{16} \)
\( \frac{31}{16} \)

Zadanie 15. (1 pkt)

Okrąg opisany na kwadracie ma promień \(4\). Długość boku tego kwadratu jest równa
\( 4\sqrt{2} \)
\( 2\sqrt{2} \)
\( 8 \)
\( 4 \)

Zadanie 16. (1 pkt)

Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość \(6\), a ramię ma długość \(5\). Wysokość opuszczona na podstawę ma długość
\( 3 \)
\( 4 \)
\( \sqrt{34} \)
\( \sqrt{61} \)

Zadanie 17. (1 pkt)

Odcinki \(AB\) i \(DE\) są równoległe. Długości odcinków \(CD, DE\) i \(AB\) są odpowiednio równe \(1\), \(3\) i \(9\). Długość odcinka \(AD\) jest równa
\( 2 \)
\( 3 \)
\( 5 \)
\( 6 \)

Zadanie 18. (1 pkt)

Punkty A, B, C leżące na okręgu o środku S są wierzchołkami trójkąta równobocznego.Miara zaznaczonego na rysunku kąta środkowego ASB jest równa

Zadanie 19. (1 pkt)

Latawiec ma wymiary podane na rysunku.Powierzchnia zacieniowanego trójkąta jest równa

Zadanie 20. (1 pkt)

Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu y = -3x + 5 jest równy

Zadanie 21. (1 pkt)

Wskaż równanie okręgu o promieniu 6.

Zadanie 22. (1 pkt)

Punkty A = (-5, 2) i B = (3,-2) są wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Obwód tego trójkąta jest równy

Zadanie 23. (1 pkt)

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5x3x4 jest równe

Zadanie 24. (1 pkt)

Ostrosłup ma 18 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa

Zadanie 25. (1 pkt)

Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb x, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 5 jest równa 3. Wtedy

Zadanie 26. (2 pkt)

Rozwiąż nierówność x2 - x - 2 ≤ 0.

Zadanie 27. (2 pkt)

Rozwiąż równanie x3 - 7x2 - 4x + 28 = 0.

Zadanie 28. (2 pkt)

Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że AD = BE.

Zadanie 29. (2 pkt)

Kąt α jest ostry i . Oblicz cosα.

Zadanie 30. (2 pkt)

Wykaż, że jeśli a > 0 , to .

Zadanie 31. (2 pkt)

W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu.

Zadanie 32. (4 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt ABC. Krawędź AD jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek).Oblicz objętość ostrosłupa ABCD, jeśli wiadomo, że AD = 12, BC = 6, BD = CD = 13.

Zadanie 33. (4 pkt)

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w pierwszym rzucie otrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn liczb oczek w obu rzutach będzie podzielny przez 12. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Zadanie 34. (4 pkt)

W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię 240 m2. Basen w drugim hotelu ma powierzchnię 350 m2oraz jest o 5 m dłuższy i 2 m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz, jakie wymiary mogą mieć baseny w obu hotelach. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.