Matura 2010 maj

Matura 2010 - arkusz podstawowy
Matura 2010 - arkusz rozszerzony

Zadanie . (1 pkt)

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności \(|x + 7| > 5\).

Zadanie . (1 pkt)

Spodnie po obniżce ceny o \(30\%\) kosztują \(126\) zł. Ile kosztowały spodnie przed obniżką?
\(163{,}80\) zł
\(180\) zł
\(294\) zł
\(420\) zł

Zadanie . (1 pkt)

Liczba \(\left (\frac{2^{-2}\cdot 3^{-1}}{2^{-1}\cdot 3^{-2}} \right )^0\) jest równa
\( 1 \)
\( 4 \)
\( 9 \)
\( 36 \)

Zadanie . (1 pkt)

Liczba \( \log_{4}8+\log_{4}2 \) jest równa
\(1 \)
\(2 \)
\(\log_{4}6 \)
\(\log_{4}10 \)

Zadanie . (1 pkt)

Dane są wielomiany \(W(x)=-2x^3+5x^2-3\) oraz \(P(x)=2x^3+12x\). Wielomian \(W(x) + P(x)\) jest równy
\( 5x^2+12x-3 \)
\( 4x^3+5x^2+12x-3 \)
\( 4x^6+5x^2+12x-3 \)
\( 4x^3+12x^2-3 \)

Zadanie . (1 pkt)

Rozwiązaniem równania \(\frac{3x-1}{7x+1}=\frac{2}{5}\) jest
\( 1 \)
\( \frac{7}{3} \)
\( \frac{4}{7} \)
\( 7 \)

Zadanie . (1 pkt)

Do zbioru rozwiązań nierówności \((x-2)(x+3)\lt 0\) należy liczba
\( 9 \)
\( 7 \)
\( 4 \)
\( 1 \)

Zadanie . (1 pkt)

Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=-3x^2+3\) jest parabola o wierzchołku w punkcie
\( (3,0) \)
\( (0,3) \)
\( (-3,0) \)
\( (0,-3) \)

Zadanie . (1 pkt)

Prosta o równaniu \(y=-2x+(3m+3)\) przecina w układzie współrzędnych oś \(Oy\) w punkcie \((0,2)\). Wtedy
\( m=-\frac{2}{3} \)
\( m=-\frac{1}{3} \)
\( m=\frac{1}{3} \)
\( m=\frac{5}{3} \)

Zadanie . (1 pkt)

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji \(y=f(x)\). Które równanie ma dokładnie trzy rozwiązania?
\( f(x)=0 \)
\( f(x)=1 \)
\( f(x)=2 \)
\( f(x)=3 \)

Zadanie . (1 pkt)

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) dane są: \(a_3=13\) i \(a_5=39\). Wtedy wyraz \(a_1\) jest równy
\( 13 \)
\( 0 \)
\( -13 \)
\( -26 \)

Zadanie . (1 pkt)

W ciągu geometrycznym \((a_n)\) dane są: \(a_1 = 3\) i \(a_4 = 24\). Iloraz tego ciągu jest równy
\( 8 \)
\( 2 \)
\( \frac{1}{8} \)
\( -\frac{1}{2} \)

Zadanie . (1 pkt)

Liczba przekątnych siedmiokąta foremnego jest równa
\( 7 \)
\( 14 \)
\( 21 \)
\( 28 \)

Zadanie . (1 pkt)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{3}{4}\). Wartość wyrażenia \(2-\cos ^2\alpha \) jest równa
\( \frac{25}{16} \)
\( \frac{3}{2} \)
\( \frac{17}{16} \)
\( \frac{31}{16} \)

Zadanie . (1 pkt)

Okrąg opisany na kwadracie ma promień \(4\). Długość boku tego kwadratu jest równa
\( 4\sqrt{2} \)
\( 2\sqrt{2} \)
\( 8 \)
\( 4 \)

Zadanie . (1 pkt)

Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość \(6\), a ramię ma długość \(5\). Wysokość opuszczona na podstawę ma długość
\( 3 \)
\( 4 \)
\( \sqrt{34} \)
\( \sqrt{61} \)

Zadanie . (1 pkt)

Odcinki \(AB\) i \(DE\) są równoległe. Długości odcinków \(CD, DE\) i \(AB\) są odpowiednio równe \(1\), \(3\) i \(9\). Długość odcinka \(AD\) jest równa
\( 2 \)
\( 3 \)
\( 5 \)
\( 6 \)

Zadanie . (1 pkt)

Punkty \(A, B, C\) leżące na okręgu o środku \(S\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Miara zaznaczonego na rysunku kąta środkowego \(ASB\) jest równa
\( 120^\circ \)
\( 90^\circ \)
\( 60^\circ \)
\( 30^\circ \)

Zadanie . (1 pkt)

Latawiec ma wymiary podane na rysunku. Powierzchnia zacieniowanego trójkąta jest równa
\( 3200 \)  cm2
\( 6400 \)  cm2
\( 1600 \)  cm2
\( 800 \)  cm2

Zadanie . (1 pkt)

Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu \(y = -3x + 5\) jest równy
\( -\frac{1}{3} \)
\( -3 \)
\( \frac{1}{3} \)
\( 3 \)

Zadanie . (1 pkt)

Wskaż równanie okręgu o promieniu \(6\).
\( x^2+y^2=3 \)
\( x^2+y^2=6 \)
\( x^2+y^2=12 \)
\( x^2+y^2=36 \)

Zadanie . (1 pkt)

Punkty \(A=(-5,2)\) i \(B=(3,-2)\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego \(ABC\). Obwód tego trójkąta jest równy
\( 30 \)
\( 4\sqrt{5} \)
\( 12\sqrt{5} \)
\( 36 \)

Zadanie . (1 pkt)

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach \(5\times 3\times 4\) jest równe
\( 94 \)
\( 60 \)
\( 47 \)
\( 20 \)

Zadanie . (1 pkt)

Ostrosłup ma \(18\) wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa
\( 11 \)
\( 18 \)
\( 27 \)
\( 34 \)

Zadanie . (1 pkt)

Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb \(x, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 5\) jest równa \(3\). Wtedy
\( x=2 \)
\( x=3 \)
\( x=4 \)
\( x=5 \)

Zadanie . (2 pkt)

Rozwiąż nierówność \(x^2 - x - 2 \le 0\).

Zadanie . (2 pkt)

Rozwiąż równanie \(x^3 - 7x^2 - 4x + 28 = 0\).

Zadanie . (2 pkt)

Trójkąty prostokątne równoramienne \(ABC\) i \(CDE\) są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że \(AD = BE\).

Zadanie . (2 pkt)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{5}{12}\). Oblicz \(\cos \alpha \).

Zadanie . (2 pkt)

Wykaż, że jeśli \(a>0\), to \(\frac{a^2+1}{a+1}\ge \frac{a+1}{2}\).

Zadanie . (2 pkt)

W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa \(6\). Oblicz obwód tego trapezu.

Zadanie . (4 pkt)

Podstawą ostrosłupa \(ABCD\) jest trójkąt \(ABC\). Krawędź \(AD\) jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa \(ABCD\), jeśli wiadomo, że \(AD = 12\), \(BC = 6\), \(BD = CD = 13\).

Zadanie . (4 pkt)

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że w pierwszym rzucie otrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn liczb oczek w obu rzutach będzie podzielny przez \(12\). Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Zadanie . (4 pkt)

W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię \(240\) m2. Basen w drugim hotelu ma powierzchnię \(350\) m2 oraz jest o \(5\) m dłuższy i \(2\) m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz, jakie wymiary mogą mieć baseny w obu hotelach. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.