Ciągi liczbowe

Wprowadzenie do ciągów

Ciąg liczbowy jest w matematyce dość naturalnym pojęciem. Tym terminem określa się ciąg liczb.
Przykłady:
  • \(1,2,3,4,5,6...\) - ciąg kolejnych liczb naturalnych.
  • \(2,4,6,8,10,12,14,...\) - ciąg kolejnych liczb parzystych dodatnich.
  • \(1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,...\) - naprzemienny ciąg liczb dodatnich i ujemnych.
  • \(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\frac{1}{32},\frac{1}{64}...\) - malejący ciąg ułamków.
  • \(3, 9, 27, 81, 243,...\) - ciąg kolejnych potęg \(3\).
  • \(80, 77, 74, 71, 68, 65, 62, 59, 56,...\) - ciąg malejący
W każdym z powyższych przykładów ciąg liczb powstawał zgodnie z pewną ustaloną regułą. Czy umiesz do każdego z nich dopisać kolejne wyrazy?

Ciąg liczbowy - wprowadzenie

W tym nagraniu wideo pokazuję co to jest ciąg liczbowy.
Wyraz ciągu liczbowego - to element tego ciągu, czyli po prostu jedna z liczb.
Przykład:
Dla ciągu liczbowego: \[5,7,9,11,13,15,17,19,21,....\] pierwszym wyrazem jest liczba \(5\), drugim wyrazem jest liczba \(7\), piątym wyrazem jest liczba \(13\), itd.
Krócej moglibyśmy zapisać to tak: \(a_1=5\), \(a_2=7\), \(a_5=13\).
Czy potrafisz odgadnąć kolejne wyrazy tego ciągu?
Ciągi liczbowe najczęściej powstają według pewnej ustalonej reguły.
Można oczywiście tworzyć ciągi losowe, np.: \[6,7,1,8-5,\sqrt{2},8,\frac{1}{2},407,0,-1,...\] ale nie mają one żadnych zastosowań, więc nie zajmujemy się nimi.
Ciąg zawsze musi pokazywać pewną regułę, porządek. Możemy nawet patrzeć na ciąg jak na funkcję.
Ciąg - to dowolna funkcja, której argumentami są liczby naturalne.
Przykłady:
  • Rozważmy funkcję \(f(n)=2n\) dla \(n\in \mathbb{N} \).
    Ta funkcja dla kolejnych argumentów \(n\) zwraca następujące wartości: \[\begin{split} &f(1)=2\cdot 1=2\\[6pt] &f(2)=2\cdot 2=4\\[6pt] &f(3)=2\cdot 3=6\\[6pt] &f(4)=2\cdot 4=8\\[6pt] &f(5)=2\cdot 5=10\\[6pt] &\qquad \quad \vdots \end{split}\] Czyli ta funkcja opisuje ciąg kolejnych liczb parzystych: \(2,4,6,8,10,12,...\)
  • Rozważmy funkcję \(f(n)=n^2\) dla \(n\in \mathbb{N} \).
    Ta funkcja dla kolejnych argumentów \(n\) zwraca następujące wartości: \[\begin{split} &f(1)=1^2=1\\[6pt] &f(2)=2^2=4\\[6pt] &f(3)=3^2=9\\[6pt] &f(4)=4^2=16\\[6pt] &f(5)=5^2=25\\[6pt] &\qquad \quad \vdots \end{split}\] Czyli ta funkcja opisuje ciąg kwadratów kolejnych liczb naturalnych: \(1,4,9,16,25,36,...\)
  • Rozważmy funkcję \(f(n)=(-1)^n\cdot \frac{1}{2^n}\) dla \(n\in \mathbb{N} \).
    Ta funkcja dla kolejnych argumentów \(n\) zwraca następujące wartości: \[\begin{split} &f(1)=(-1)^1\cdot \frac{1}{2^1}=-\frac{1}{2}\\[6pt] &f(2)=(-1)^2\cdot \frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}\\[6pt] &f(3)=(-1)^3\cdot \frac{1}{2^3}=-\frac{1}{8}\\[6pt] &f(4)=(-1)^4\cdot \frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}\\[6pt] &f(5)=(-1)^5\cdot \frac{1}{2^5}=-\frac{1}{32}\\[6pt] &\qquad \quad \vdots \end{split}\] Czyli ta funkcja opisuje ciąg: \(-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{8},\frac{1}{16},-\frac{1}{32},\frac{1}{64},...\)
Już wiemy, że ciągi są szczególnym rodzajem funkcji. Dla odróżnienia, ich wzory zapisujemy trochę inaczej od wzorów funkcji. Stosujemy w tym celu wzór ogólny ciągu.
Wzór ogólny ciągu - to reguła (funkcja) według której powstaje dany ciąg.
Przykłady:
  • Zamiast pisać: \(f(n)=2n\) dla \(n\in \mathbb{N} \) napiszemy krótko: \(a_n=2n\).
  • Zamiast pisać: \(f(n)=n^2\) dla \(n\in \mathbb{N} \) napiszemy krótko: \(a_n=n^2\).
  • Zamiast pisać: \(f(n)=(-1)^n\cdot \frac{1}{2^n}\) dla \(n\in \mathbb{N} \) napiszemy krótko: \(a_n=(-1)^n\cdot \frac{1}{2^n}\).