Jesteś tutaj: SzkołaCiągi liczbowe
◀ Funkcja logarytmiczna

Ciągi liczbowe

Wprowadzenie do ciągów
Liczby: \[1, 4, 9, 16, 25, 36,...\] to kwadraty kolejnych liczb naturalnych. Mówimy, że takie liczby tworzą ciąg.
Więcej przykładów ciągów liczbowych:
\(1,2,3,4,5,6...\) - ciąg kolejnych liczb naturalnych.
\(2,4,6,8,10,12,14,...\) - ciąg kolejnych liczb parzystych dodatnich.
\(1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,...\) - naprzemienny ciąg liczb dodatnich i ujemnych.
\(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\frac{1}{32},\frac{1}{64}...\) - malejący ciąg ułamków.
\(3, 9, 27, 81, 243,...\) - ciąg kolejnych potęg \(3\).
\(80, 77, 74, 71, 68, 65, 62, 59, 56,...\) - ciąg malejący
W każdym z powyższych przykładów ciąg liczb powstawał zgodnie z pewną ustaloną regułą. Czy umiesz do każdego z nich dopisać kolejne wyrazy?
W tym nagraniu wideo pokazuję co to jest ciąg liczbowy.
Ciągi liczbowe najczęściej powstają według pewnej ustalonej reguły.
Można oczywiście tworzyć ciągi losowe, np.: \[6,7,1,8-5,\sqrt{2},8,\frac{1}{2},407,0,-1,...\] ale nie mają one żadnych zastosowań, więc nie zajmujemy się nimi.
Ciąg zawsze musi pokazywać pewną regułę, porządek. Możemy nawet patrzeć na ciąg jak na funkcję.

Definicja

Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję, której argumentami są liczby naturalne dodatnie.
Wartości takiej funkcji nazywamy wyrazami ciągu.
Dla ciągu liczbowego: \[5,7,9,11,13,15,17,19,21,....\]
  • pierwszym wyrazem jest liczba \(5\),
  • drugim wyrazem jest liczba \(7\),
  • piątym wyrazem jest liczba \(13\).
Krócej możemy zapisać to tak:
  • \(a_1=5\)
  • \(a_2=7\)
  • \(a_5=13\)
Kolejne wyrazy tego ciągu są wartościami funkcji \(f(n)=2n+3\) dla \(n\in \mathbb{N}_+\).
  • \(f(1)=2\cdot 1+3=5\)
  • \(f(2)=2\cdot 2+3=7\)
  • \(f(5)=2\cdot 5+3=13\)
Rozważmy funkcję \(f(n)=2n\) dla \(n\in \mathbb{N}_+ \).
Ta funkcja dla kolejnych argumentów \(n\) zwraca następujące wartości: \[\begin{split} &f(1)=2\cdot 1=2\\[6pt] &f(2)=2\cdot 2=4\\[6pt] &f(3)=2\cdot 3=6\\[6pt] &f(4)=2\cdot 4=8\\[6pt] &f(5)=2\cdot 5=10\\[6pt] &\qquad \quad \vdots \end{split}\] Czyli ta funkcja opisuje ciąg kolejnych liczb parzystych: \(2,4,6,8,10,12,...\)
Rozważmy funkcję \(f(n)=n^2\) dla \(n\in \mathbb{N}_+ \).
Ta funkcja dla kolejnych argumentów \(n\) zwraca następujące wartości: \[\begin{split} &f(1)=1^2=1\\[6pt] &f(2)=2^2=4\\[6pt] &f(3)=3^2=9\\[6pt] &f(4)=4^2=16\\[6pt] &f(5)=5^2=25\\[6pt] &\qquad \quad \vdots \end{split}\] Czyli ta funkcja opisuje ciąg kwadratów kolejnych liczb naturalnych: \(1,4,9,16,25,36,...\)
Rozważmy funkcję \(f(n)=(-1)^n\cdot \frac{1}{2^n}\) dla \(n\in \mathbb{N}_+ \).
Ta funkcja dla kolejnych argumentów \(n\) zwraca następujące wartości: \[\begin{split} &f(1)=(-1)^1\cdot \frac{1}{2^1}=-\frac{1}{2}\\[6pt] &f(2)=(-1)^2\cdot \frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}\\[6pt] &f(3)=(-1)^3\cdot \frac{1}{2^3}=-\frac{1}{8}\\[6pt] &f(4)=(-1)^4\cdot \frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}\\[6pt] &f(5)=(-1)^5\cdot \frac{1}{2^5}=-\frac{1}{32}\\[6pt] &\qquad \quad \vdots \end{split}\] Czyli ta funkcja opisuje ciąg: \(-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{8},\frac{1}{16},-\frac{1}{32},\frac{1}{64},...\)
Już wiemy, że ciągi są szczególnym rodzajem funkcji. Dla odróżnienia, ich wzory zapisujemy trochę inaczej od wzorów funkcji. Stosujemy w tym celu wzór ogólny ciągu.

Definicja

Wzór ogólny ciągu - to wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu: \[a_n= \text{wzór ciągu} \]
Tak jak w przypadku funkcji zapisujemy: \[f(n)=\text{wzór}\] tak w przypadku ciągów zapiszemy: \[a_n=\text{wzór}\]
Zamiast pisać: \(f(n)=2n\) dla \(n\in \mathbb{N}_+ \) napiszemy krótko: \(a_n=2n\).
Zamiast pisać: \(f(n)=n^2\) dla \(n\in \mathbb{N}_+ \) napiszemy krótko: \(a_n=n^2\).
Zamiast pisać: \(f(n)=(-1)^n\cdot \frac{1}{2^n}\) dla \(n\in \mathbb{N}_+ \) napiszemy krótko: \(a_n=(-1)^n\cdot \frac{1}{2^n}\).