Matura 2011 sierpień

Arkusz z treściami zadań

Zadanie . (1 pkt)

Rozwiązaniem równania \(3(2-3x)=x-4\) jest
\( x=1 \)
\( x=2 \)
\( x=3 \)
\( x=4 \)

Zadanie . (1 pkt)

Suma liczby \(x\) i \(15\%\) tej liczby jest jest równa \(230\). Równaniem opisującym tą zależność jest
\( 0{,}15\cdot x=230 \)
\( 0{,}85\cdot x=230 \)
\( x+0{,}15\cdot x=230 \)
\( x-0{,}15\cdot x=230 \)
Reklama

Zadanie . (1 pkt)

Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} x+3y=5\\ 2x-y=3 \end{cases} \) jest
\( \begin{cases}x=2\\y=1 \end{cases} \)
\( \begin{cases}x=2\\y=-1 \end{cases} \)
\( \begin{cases}x=1\\y=2 \end{cases} \)
\( \begin{cases}x=1\\y=-2 \end{cases} \)

Zadanie . (1 pkt)

Funkcja liniowa \(f(x)=(m-2)x-11\) jest rosnąca dla
\( m>2 \)
\( m>0 \)
\( m\lt 13 \)
\( m\lt 11 \)

Zadanie . (1 pkt)

Do wykresu funkcji liniowej należą punkty \(A=(1,2)\) i \(B=(-2,5)\). Funkcja \(f\) ma wzór
\( f(x)=x+3 \)
\( f(x)=x-3 \)
\( f(x)=-x-3 \)
\( f(x)=-x+3 \)

Zadanie . (1 pkt)

Punkt \(A=(0,5)\) leży na prostej \(k\) prostopadłej do prostej o równaniu \(y = x + 1\). Prosta \(k\) ma równanie
\( y=x+5 \)
\( y=-x+5 \)
\( y=x-5 \)
\( y=-x-5 \)
Reklama

Zadanie . (1 pkt)

Dla pewnych \(a\) i \(b\) zachodzą równości \(a^2 - b^2 = 200\) i \(a + b = 8\). Dla tych \(a\) i \(b\) wartość wyrażenia \(a - b\) jest równa
\( 25 \)
\( 16 \)
\( 10 \)
\( 2 \)

Zadanie . (1 pkt)

Liczba \(|5 − 2| + |1 − 6|\) jest równa
\( 8 \)
\( 2 \)
\( 3 \)
\( -2 \)

Zadanie . (1 pkt)

Liczba \(\log_2 4 + 2\log_3 1\) jest równa
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 2 \)
\( 4 \)

Zadanie . (1 pkt)

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej \(f(x) = x^2 - 4\) jest
\( \langle -4,+\infty ) \)
\( \langle -2,+\infty ) \)
\( \langle 2,+\infty ) \)
\( \langle 4,+\infty ) \)

Zadanie . (1 pkt)

Dane są wielomiany \(W(x) = x^3 + 3x^2 + x - 11\) i \(V(x) = x^3 + 3x^2 + 1\). Stopień wielomianu \(W(x) - V(x)\) jest równy
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 2 \)
\( 3 \)
Reklama

Zadanie . (1 pkt)

W ciągu geometrycznym \((a_n)\) mamy \(a_3 = 5\) i \(a_4 = 15\). Wtedy wyraz \(a_5\) jest równy.
\( 10 \)
\( 20 \)
\( 75 \)
\( 45 \)

Zadanie . (1 pkt)

Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych o sumie cyfr równej \(2\) ?
\( 1 \)
\( 2 \)
\( 3 \)
\( 4 \)

Zadanie . (1 pkt)

Dane są punkty \(A=(1,-4)\) i \(B=(2,3)\). Odcinek \(AB\) ma długość
\( 1 \)
\( 4\sqrt{3} \)
\( 5\sqrt{2} \)
\( 7 \)

Zadanie . (1 pkt)

Kąt \(\alpha \) jest ostry oraz \(\sin \alpha =\cos 47^\circ \). Wtedy miara kąta \(\alpha \) jest równa.
\( 6^\circ \)
\( 33^\circ \)
\( 47^\circ \)
\( 43^\circ \)

Zadanie . (1 pkt)

Ile wyrazów ujemnych ma ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n = 2n^2 - 9\) dla \(n \ge 1\)?
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 2 \)
\( 3 \)

Zadanie . (1 pkt)

Krawędź sześcianu ma długość \(9\). Długość przekątnej tego sześcianu jest równa
\( \sqrt[3]{9} \)
\( 9\sqrt{2} \)
\( 9\sqrt{3} \)
\( 9+9\sqrt{2} \)

Zadanie . (1 pkt)

Średnia arytmetyczna sześciu liczb: \(3, 1, 1, 0, x, 2\) jest równa \(2\). Wtedy liczba \(x\) jest równa
\( 3 \)
\( 4 \)
\( 5 \)
\( 6 \)

Zadanie . (1 pkt)

Ze zbioru dwucyfrowych liczb naturalnych wybieramy losowo jedną liczbę. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez \(30\) jest równe
\( \frac{1}{90} \)
\( \frac{2}{90} \)
\( \frac{3}{90} \)
\( \frac{10}{90} \)

Zadanie . (1 pkt)

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości \(6\). Objętość tego walca jest równa
\( 108\pi \)
\( 54\pi \)
\( 36\pi \)
\( 27\pi \)

Zadanie . (1 pkt)

Dany jest romb o boku długości \(4\) i kącie ostrym \(60^\circ\). Pole tego rombu jest równe
\( 16\sqrt{3} \)
\( 16 \)
\( 8\sqrt{3} \)
\( 8 \)

Zadanie . (1 pkt)

Kula ma objętość \(V = 288\pi\). Promień \(r\) tej kuli jest równy
\( 6 \)
\( 8 \)
\( 9 \)
\( 12 \)

Zadanie . (1 pkt)

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie są tej samej długości. Suma długości wszystkich krawędzi jest równa \(90\). Wtedy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe
\( 300 \)
\( 300\sqrt{3} \)
\( 300+50\sqrt{3} \)
\( 300+25\sqrt{3} \)

Zadanie . (2 pkt)

Rozwiąż nierówność \(x^2 - 3x + 2 \lt 0\).

Zadanie . (2 pkt)

Udowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od \(1\) do \(16\), czyli \(1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot 16\), jest podzielny przez \(2^{15}\).

Zadanie . (2 pkt)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{1}{4}\). Oblicz \(3 + 2\operatorname{tg}^2\alpha \).

Zadanie . (2 pkt)

Liczby \(2x+1, 6, 16x+2\) są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz \(x\).

Zadanie . (2 pkt)

Na bokach trójkąta równobocznego \(ABC\) (na zewnątrz tego trójkąta) zbudowano kwadraty \(ABDE\), \(CBGH\) i \(ACKL\). Udowodnij, że trójkąt \(KGE\) jest równoboczny.

Zadanie . (2 pkt)

Punkty \(A\) i \(B\) leżą na okręgu o środku \(O\) i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek długości jest równy \(7:5\). Oblicz miarę kąta środkowego opartego na krótszym łuku.

Zadanie . (2 pkt)

Dane są dwa pudełka: czerwone i niebieskie. W każdym z tych pudełek znajduje się \(10\) kul ponumerowanych liczbami od \(1\) do \(10\). Z każdego pudełka losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że numer kuli wylosowanej z czerwonego pudełka jest mniejszy od numeru kuli wylosowanej z niebieskiego pudełka.

Zadanie . (5 pkt)

Dwie szkoły mają prostokątne boiska. Przekątna każdego boiska jest równa \(65\) m. Boisko w drugiej szkole ma długość o \(4\) m większą niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość o \(8\) m mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z boisk.

Zadanie . (4 pkt)

Ile jest liczb pięciocyfrowych, spełniających jednocześnie następujące cztery warunki:
(1) cyfry setek, dziesiątek i jedności są parzyste,
(2) cyfra setek jest większa od cyfry dziesiątek,
(3) cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności,
(4) w zapisie tej liczby nie występuje cyfra \(9\).

Zadanie . (4 pkt)

Podstawą ostrosłupa \(ABCDW\) jest prostokąt \(ABCD\). Krawędź boczna \(DW\) jest wysokością tego ostrosłupa. Krawędzie boczne \(AW\), \(BW\) i \(CW\) mają następujące długości: \(|AW| = 6\), \(|BW| = 9\), \(|CW| = 7\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.