Ciąg arytmetyczny

Definicja ciągu arytmetycznego i przykłady

Przed rozpoczęciem nauki o ciągu arytmetycznym warto zapoznać się z samym pojęciem ciągu.

Ciąg arytmetyczny

W tym nagraniu wideo omawiam najważniejsze wiadomości dotyczące ciągu arytmetycznego.
Ciąg arytmetyczny - to taki ciąg liczb, w którym każda kolejna liczba różni się od poprzedniej o ustaloną wartość \(r\).
Liczbę \(r\) nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.
Najważniejsze wzory
Niech będzie dany ciąg arytmetyczny \((a_n)\). Wtedy zachodzą następujące wzory:
Wzór na \(n\)-ty wyraz: \[a_n=a_1 + (n-1)\cdot r\] lub \[a_n=a_k + (n-k)\cdot r\] Wzór na sumę \(n\) pierwszych wyrazów ciągu: \[S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\] Jeśli liczby \(x,y,z\) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, to zachodzi wzór: \[y=\frac{x + z}{2}\]
Przykład .
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\): \[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...\] Różnica ciągu jest równa \(1\), czyli \(r=1\).
Pierwszy wyraz ciągu jest równy \(1\), czyli \(a_1=1\).
Drugi wyraz ciągu jest równy \(2\), czyli \(a_2=2\).
Trzeci wyraz ciągu jest równy \(3\), czyli \(a_3=3\).
Przykład .
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\): \[-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...\] Różnica ciągu jest równa \(1\), czyli \(r=1\).
Pierwszy wyraz ciągu jest równy \(-3\), czyli \(a_1=-3\).
Drugi wyraz ciągu jest równy \(-2\), czyli \(a_2=-2\).
Trzeci wyraz ciągu jest równy \(-1\), czyli \(a_3=-1\).
Przykład .
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\): \[6, 8, 10, 12, 14, 16,...\] Różnica ciągu jest równa \(2\), czyli \(r=2\).
Pierwszy wyraz ciągu jest równy \(6\), czyli \(a_1=6\).
Drugi wyraz ciągu jest równy \(8\), czyli \(a_2=8\).
Trzeci wyraz ciągu jest równy \(10\), czyli \(a_3=10\).
Przykład .
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\): \[11, 8, 5, 2, -1,...\] Różnica ciągu jest równa \(-3\), czyli \(r=-3\).
Pierwszy wyraz ciągu jest równy \(11\), czyli \(a_1=11\).
Drugi wyraz ciągu jest równy \(8\), czyli \(a_2=8\).
Trzeci wyraz ciągu jest równy \(5\), czyli \(a_3=5\).
Przykład .
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\): \[5, 5\tfrac{1}{2},\ 6,\ 6\tfrac{1}{2},\ 7,...\] Różnica ciągu jest równa \(\frac{1}{2}\), czyli \(r=\frac{1}{2}\).
Pierwszy wyraz ciągu jest równy \(5\), czyli \(a_1=5\).
Drugi wyraz ciągu jest równy \(5\tfrac{1}{2}\), czyli \(a_2=5\tfrac{1}{2}\).
Trzeci wyraz ciągu jest równy \(6\), czyli \(a_3=6\).
Przykład .
Przykłady ciągów niearytmetycznych: \[1,2,4,8,16,...\] \[\sqrt{2},\ \sqrt{3},\ 2,\ \sqrt{5},...\] \[1,2,1,2,1,2...\]
Reklama