Równania wymierne

Metoda I

Równanie wymierne postaci \(\frac{w(x)}{p(x)}=0\) rozwiązujemy następująco:

ustalamy dziedzinę (licząc miejsca zerowe wielomianu \(p(x)\)),
liczymy miejsca zerowe wielomianu \(w(x)\),
sprawdzamy które miejsca zerowe \(w(x)\) należą do dziedziny i to są rozwiązania równania.

Powyższa metoda w skróconej wersji:

Ułamek jest równy \(0\ \Leftrightarrow \) licznik \(=0\ \) i mianownik \(\ne 0\).

Rozwiąż równanie \(\frac{2x^2-6x}{x^2-9}=0\)

Wyznaczamy dziedzinę: \[\begin{split} x^2-9&=0\\[6pt] x^2&=9\\[6pt] x=-3\quad &\lor \quad x=3 \end{split}\]

Zatem dziedzina równania to: \(x\in \mathbb{R} \backslash \{-3, 3\}\).

Przyrównujemy licznik do zera (lub równoważnie mnożymy całe równanie stronami przez mianownik \(x^2-9)\)): \[\begin{split} 2x^2-6x&=0\\[6pt] 2x(x-3)&=0\\[6pt] x=0\quad &\lor x-3=0\\[6pt] \ \ \ \quad &\lor x=3 \end{split}\] Z powyższych rozwiązań tylko \(x=0\) należy do dziedziny i to jest jedyne rozwiązanie tego równania.

Metoda II

Równanie wymierne dowolnej postaci rozwiązujemy następująco:

ustalamy dziedzinę (licząc miejsca zerowe wyrażeń w mianownikach),
mnożymy równanie stronami przez wspólny mianownik,
rozwiązujemy otrzymane równanie wielomianowe uwzględniając dziedzinę.

Rozwiąż równanie \(\frac{6-3 x}{x-2}=x-3\).

Wyznaczamy dziedzinę, czyli liczymy miejsca zerowe mianownika: \[x-2=0\\[6pt] x=2\]

Zatem dziedzina równania to: \(x\in \mathbb{R} \backslash \{2\}\).

Mnożymy równanie stronami przez mianownik \(x-2\) i rozwiązujemy równanie: \[ \begin{split} \frac{6-3 x}{x-2}&=x-3 \quad / \cdot(x-2) \\[6pt] 6-3 x&=(x-3)(x-2) \\[6pt] 6-3 x&=x^2-5 x+6 \\[6pt] x^2-5 x+3 x+6-6&=0 \\[6pt] x^2-2 x&=0 \\[6pt] x(x-2)&=0 \\[6pt] x=0 \quad &\vee \quad x-2=0 \\[6pt] x=0 \quad &\vee \quad x=2 \end{split} \] Otrzymaliśmy dwa rozwiązania, ale drugie rozwiązanie (\(x=2\)) nie należy do dziedziny, zatem mamy tylko jedno rozwiązanie: \[x=0\]

Równanie \(\frac{(x+3)(x-2)}{(x-3)(x+2)}=0\) ma

A.dokładnie jedno rozwiązanie

B.dokładnie dwa rozwiązania

C.dokładnie trzy rozwiązania

D.dokładnie cztery rozwiązania

Rozwiąż równanie \(\frac{4x^2-100}{5+x}=0\).

\(x=5\)

Równanie \(\frac{x^2+36}{x-6}=0\)

A.nie ma rozwiązań

B.ma dokładnie jedno rozwiązanie

C.ma dokładnie dwa rozwiązania

D.ma dokładnie trzy rozwiązania

Wskaż liczbę rozwiązań równania \(\frac{11-x}{x^2-11}=0 \).

A.\(0 \)

B.\(1 \)

C.\(2 \)

D.\(3 \)

Liczba rozwiązań równania \(\frac{x+3}{(5-x)(x+2)}=0\) jest równa

A.\( 3 \)

B.\( 2 \)

C.\( 1 \)

D.\( 0 \)

Liczba rozwiązań równania \(\frac{(x+3)(x-1)}{(5-x)(x+2)}=0\) jest równa

A.\( 3 \)

B.\( 2 \)

C.\( 1 \)

D.\( 0 \)

Liczba rozwiązań równania \(\frac{(x+3)(x-1)(14+2x)}{x+7}=0\) jest równa

A.\( 3 \)

B.\( 2 \)

C.\( 1 \)

D.\( 0 \)

Liczba różnych rozwiązań równania \(\frac{(x+3)(x^2-4)}{x^2+2x}=0\) wynosi:

A.\( 5 \)

B.\( 4 \)

C.\( 3 \)

D.\( 2 \)

Wspólnym pierwiastkiem równań \( (x^2-1)(x-10)(x-5)=0 \) i \( \frac{2x-10}{x-1}=0 \) jest liczba

A.\(10 \)

B.\(5 \)

C.\(1 \)

D.\(-1 \)

Rozwiązaniem równania \(\frac{(x^2-2x-3)\cdot (x^2-9)}{x-1}=0\) nie jest liczba

A.\( -3 \)

B.\( -1 \)

C.\( 1 \)

D.\( 3 \)

Równanie \(\frac{x-1}{x+1}=x-1\)

A.ma dokładnie dwa rozwiązania \( x=0 \), \(x=1\)

B.ma dokładnie jedno rozwiązanie \( x=-1 \)

C.ma dokładnie jedno rozwiązanie \( x=0 \)

D.ma dokładnie jedno rozwiązanie \( x=1 \)

Rozwiąż równanie \(\frac{2x-4}{x}=\frac{x}{2x-4}\), gdzie \(x\ne 0\) i \(x\ne 2\).

\(x=\frac{4}{3}\) lub \(x=4\)