Zestaw treningowy 1

Zadanie 1. (1 pkt)

Punkty \(A=(1,-2)\), \(C=(4,2)\) są dwoma wierzchołkami trójkąta równobocznego \(ABC\). Wysokość tego trójkąta jest równa
\( \frac{5\sqrt{3}}{2} \)
\( \frac{5\sqrt{3}}{3} \)
\( \frac{5\sqrt{3}}{6} \)
\( \frac{5\sqrt{3}}{9} \)

Zadanie 1a. (1 pkt)

Punkty \(A=(-3,-1)\), \(B=(2,5)\) są dwoma wierzchołkami trójkąta równobocznego \(ABC\). Pole tego trójkąta jest równe
\( \frac{\sqrt{183}}{2} \)
\( \frac{61\sqrt{3}}{2} \)
\( \frac{61\sqrt{3}}{4} \)
\( \frac{11\sqrt{3}}{4} \)

Zadanie 1b. (1 pkt)

Punkty \(B=(0,0)\), \(C=(3,0)\) są dwoma wierzchołkami trójkąta równobocznego \(ABC\). Obwód tego trójkąta jest równy
\( 3 \)
\( 9 \)
\( \frac{3\sqrt{3}}{2} \)
\( \frac{9\sqrt{3}}{4} \)

Zadanie 2. (1 pkt)

Wskaż nierówność która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej
\( |x+2|\le 3 \)
\( |x-2|\le 3 \)
\( |x-3|\le 2 \)
\( |x+3|\le 2 \)

Zadanie 2a. (1 pkt)

Zaznacz na osi liczbowej punkty opisane równością \(|x + 1|=4\).

Zadanie 2b. (1 pkt)

Zaznacz na osi liczbowej przedział opisany nierównością \(|x + 1| \le 4\).

Zadanie 3. (1 pkt)

Drut o długości \(27\) metrów pocięto na trzy części, których stosunek długości jest równy \(2:3:4\). Jaką długość ma najkrótsza z tych części?
\( 4{,}5 \) m
\( 6 \) m
\( 6{,}75 \) m
\( 9 \) m

Zadanie 3a. (1 pkt)

Trzy kamienie ważą łącznie \(26\) kg. Stosunek ich wag jest równy \(1:5:7\). Ile waży najcięższy z kamieni?
\( 10 \) kg
\( 12 \) kg
\( 13 \) kg
\( 14 \) kg

Zadanie 3b. (1 pkt)

Kasia kupiła w sklepie \(4\) bluzki. Stosunek ich cen jest równy \(2:3:6:15\). Jaka jest różnica w cenie między najdroższą a najtańszą bluzką, jeżeli wiadomo, że wszystkie kosztowały łącznie \(390\) zł?
\( 13 \) zł
\( 130 \) zł
\( 195 \) zł
\( 255 \) zł

Zadanie 4. (1 pkt)

Ile punktów wspólnych ma prosta o równaniu \(y=-x+2\) z okręgiem o środku w początku układu współrzędnych i promieniu \(2\)?
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 2 \)
\( 3 \)

Zadanie 4a. (1 pkt)

Ile punktów wspólnych ma prosta o równaniu \(y = 3\) z okręgiem o środku w punkcie \(S(1, 2)\) i promieniu \(1\)?
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 2 \)
\( 3 \)

Zadanie 4b. (1 pkt)

Ile punktów wspólnych ma prosta o równaniu \(y=2x+1\) z okręgiem o środku w punkcie \(S=(2, -2)\) i promieniu \(1\)?
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 2 \)
\( 3 \)

Zadanie 5. (1 pkt)

Liczby: \(1, 3, x-11\) w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Liczba \(x\) jest równa
\( 5 \)
\( 9 \)
\( 16 \)
\( 20 \)

Zadanie 5a. (1 pkt)

Liczby: \(2x, 15, 8\) w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Liczba \(x\) jest równa
\( 1 \)
\( 10 \)
\( 11 \)
\( 22 \)

Zadanie 5b. (1 pkt)

Liczby: \(2x+1, 7, 13x-2\) w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Liczba \(x\) jest równa
\( 1 \)
\( 3 \)
\( 4 \)
\( 5 \)

Zadanie 6. (1 pkt)

Na rysunku 1. jest przedstawiony wykres funkcji \(y=f(x)\) Funkcja przedstawiona na rysunku 2. określona jest wzorem
\( y=f(x)+2 \)
\( y=f(x)-2 \)
\( y=f(x-2) \)
\( y=f(x+2) \)

Zadanie 6a. (1 pkt)

Funkcję \(f(x)=7x-5\) przesunięto o wektor \(\vec{v} = [0; -3]\) otrzymując funkcję \(g(x)\). Funkcja \(g(x)\) określona jest wzorem
\( g(x)=7x-8 \)
\( g(x)=7x-2 \)
\( g(x)=7x-26 \)
\( g(x)=7x+19 \)

Zadanie 6b. (1 pkt)

Funkcję \(f(x)=7x-5\) przesunięto o wektor \(\vec{v}=[5; 1]\) otrzymując funkcję \(g(x)\). Funkcja \(g(x)\) określona jest wzorem
\( g(x)=7x-1 \)
\( g(x)=7x+1 \)
\( g(x)=7x-39 \)
\( g(x)=7x-41 \)

Zadanie 7. (1 pkt)

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\cos \alpha = \frac{3}{4}\). Wtedy \(\sin \alpha\) jest równy
\( \frac{1}{4} \)
\( \frac{\sqrt{7}}{4} \)
\( \frac{7}{16} \)
\( \frac{\sqrt{7}}{16} \)

Zadanie 7a. (1 pkt)

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin{\alpha}=\frac{4}{5}\). Wtedy \(\cos{\alpha }\) jest równy
\( \frac{1}{5} \)
\( \frac{2}{5} \)
\( \frac{3}{5} \)
\( \frac{4}{5} \)

Zadanie 7b. (1 pkt)

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin\alpha =\frac{\sqrt{2}}{2} \). Wtedy \(\operatorname{tg}\alpha\) jest równy
\( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( \frac{2}{\sqrt{2}} \)
\( \sqrt{2} \)
\( 1 \)

Zadanie 8. (1 pkt)

Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział \(\langle-2, \infty )\).
\( y=-2x^2+2 \)
\( y=-(x+1)^2-2 \)
\( y=2(x-1)^2+2 \)
\( y=(x+1)^2-2 \)

Zadanie 8a. (1 pkt)

Wskaż zbiór wartości funkcji \(f(x)=(x-3)^2+2\)
\( \langle -2, \infty ) \)
\( \langle 2, \infty ) \)
\( \langle -3, \infty ) \)
\( \langle 3, \infty ) \)

Zadanie 8b. (1 pkt)

Wskaż zbiór wartości funkcji \(f(x)=-(x+3)^2-5\)
\( \langle -5, \infty ) \)
\( \langle 5, \infty ) \)
\( (-\infty , -5 \rangle \)
\( (-\infty , 5 \rangle \)

Zadanie 9. (1 pkt)

Liczba \(\log 36\) jest równa
\( 2\log 18 \)
\( \log 40-2\log 2 \)
\( 2\log 4-3\log 2 \)
\( 2\log 6-\log 1 \)

Zadanie 9a. (1 pkt)

Liczba \(\log_{3}21-\log_{3}7\) jest równa
\( 14 \)
\( \log_{3}14 \)
\( 0 \)
\( 1 \)

Zadanie 9b. (1 pkt)

Liczba \(\log_{5}\! 10+\log_{5}\! 2{,}5\) jest równa
\( 1 \)
\( 2 \)
\( 5 \)
\( \log_{5}\frac{25}{2} \)

Zadanie 10. (1 pkt)

Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których obie cyfry są parzyste?
\( 16 \)
\( 20 \)
\( 24 \)
\( 25 \)

Zadanie 10a. (1 pkt)

Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których obie cyfry są nieparzyste?
\( 16 \)
\( 20 \)
\( 24 \)
\( 25 \)

Zadanie 10b. (1 pkt)

Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w których wszystkie trzy cyfry są parzyste?
\( 40 \)
\( 64 \)
\( 100 \)
\( 125 \)

Zadanie 11. (1 pkt)

Wysokość stożka jest równa 15 cm, a promień podstawy 4 cm. Objętość stożka jest równa
\( 60\pi \) cm3
\( 80\pi \) cm3
\( 100\pi \) cm3
\( 125\pi \) cm3

Zadanie 11a. (1 pkt)

Objętość stożka jest równa \(24\pi \) cm3, a promień podstawy \(6\) cm. Wysokość stożka jest równa
\( 2 \) cm
\( 4 \) cm
\( 6 \) cm
\( 8 \) cm

Zadanie 11b. (1 pkt)

Tworząca stożka jest równa \(5\) cm, a promień podstawy jest równy \(6\) cm. Pole powierzchni stożka jest równe
\( 30\pi \) cm2
\( 55\pi \) cm2
\( 66\pi \) cm2
\( 77\pi \) cm2

Zadanie 11c. (1 pkt)

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest półkolem o promieniu \(12\) cm. Podstawa tego stożka jest kołem o promieniu
\( 12 \) cm
\( 6 \) cm
\( 3 \) cm
\( 1 \) cm

Zadanie 12. (1 pkt)

Wyniki sprawdzianu z matematyki są przedstawione na diagramie. Mediana ocen uzyskanych przez uczniów jest równa
\( 6 \)
\( 5 \)
\( 4{,}5 \)
\( 4 \)

Zadanie 12a. (1 pkt)

W drużynie koszykarskiej zawodnicy mają wzrost odpowiednio: \(191\) cm, \(210\) cm, \(205\) cm, \(204\) cm, \(212\) cm. Mediana zbioru tych wartości wynosi
\( 204 \) cm
\( 205 \) cm
\( 207 \) cm
\( 210 \) cm

Zadanie 12b. (1 pkt)

W drużynie siatkarskiej zawodnicy mają wzrost odpowiednio: \(207\) cm, \(205\) cm, \(205\) cm, \(197\) cm, \(212\) cm, \(216\) cm. Mediana zbioru tych wartości wynosi
\( 197 \) cm
\( 201 \) cm
\( 205 \) cm
\( 206 \) cm

Zadanie 13. (1 pkt)

Prosta \(l\) ma równanie \(y=2x-11\). Wskaż równanie prostej równoległej do \(l\).
\( y=2x \)
\( y=-2x \)
\( y=-\frac{1}{2}x \)
\( y=\frac{1}{2}x \)

Zadanie 13a. (1 pkt)

Prosta \(l\) ma równanie \(y=2x-11\). Wskaż równanie prostej prostopadłej do \(l\).
\( y=2x \)
\( y=-2x \)
\( y=-\frac{1}{2}x \)
\( y=\frac{1}{2}x \)

Zadanie 13b. (1 pkt)

Prosta \(l\) ma równanie \(2y-x=4\). Wskaż równanie prostej równoległej do \(l\).
\( y=2x \)
\( y=-2x \)
\( y=-\frac{1}{2}x \)
\( y=\frac{1}{2}x \)

Zadanie 14. (1 pkt)

Liczba rozwiązań równania \(\frac{x+3}{(5-x)(x+2)}=0\) jest równa
\( 3 \)
\( 2 \)
\( 1 \)
\( 0 \)

Zadanie 14a. (1 pkt)

Liczba rozwiązań równania \(\frac{(x+3)(x-1)}{(5-x)(x+2)}=0\) jest równa
\( 3 \)
\( 2 \)
\( 1 \)
\( 0 \)

Zadanie 14b. (1 pkt)

Liczba rozwiązań równania \(\frac{(x+3)(x-1)(14+2x)}{x+7}=0\) jest równa
\( 3 \)
\( 2 \)
\( 1 \)
\( 0 \)

Zadanie 15. (1 pkt)

Wskaż przedział, który jest zbiorem rozwiązań nierówności \(\frac{x}{4}+\frac{1}{6}<\frac{x}{3}\)
\( (-\infty, -2) \)
\( (-\infty, 2) \)
\( (-2, +\infty) \)
\( (2, +\infty) \)

Zadanie 15a. (1 pkt)

Wskaż przedział, który jest zbiorem rozwiązań nierówności \(\frac{2}{3}-\frac{3x}{5}<7\)
\(\textstyle (-\infty, -10\frac{5}{9}) \)
\(\textstyle (-\infty, 10\frac{5}{9}) \)
\(\textstyle (-10\frac{5}{9}, +\infty) \)
\(\textstyle (10\frac{5}{9}, +\infty) \)

Zadanie 15b. (1 pkt)

Wskaż przedział, który jest zbiorem rozwiązań nierówności \(x-\frac{7x}{8}<\frac{x}{4}\)
\( (-\infty, 0) \)
\( (-\infty, 1) \)
\( (0, +\infty) \)
\( (1, +\infty) \)

Zadanie 16. (1 pkt)

Przekątna prostopadłościanu o wymiarach \(3 \times 4 \times 5\) ma długość
\( 2\sqrt{5} \)
\( 2\sqrt{3} \)
\( 5\sqrt{2} \)
\( 2\sqrt{15} \)

Zadanie 16a. (1 pkt)

Dany jest prostopadłościan o bokach długości \(1\) cm, \(2\) cm i \(3\) cm. Przekątna tego prostopadłościanu ma długość
\( 4 \) cm
\( 2\sqrt{4} \) cm
\( \sqrt{13} \) cm
\( \sqrt{14} \) cm

Zadanie 16b. (1 pkt)

Dany jest sześcian o przekątnej długości \(4\sqrt{3}\). Objętość tego sześcianu wynosi
\( 16 \)
\( 16\sqrt{3} \)
\( 64 \)
\( 64\sqrt{3} \)

Zadanie 17. (1 pkt)

Liczba \(x=-7\) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=(3-a)x+7\) dla
\( a=-7 \)
\( a=2 \)
\( a=3 \)
\( a=-1 \)

Zadanie 17a. (1 pkt)

Liczba \(x=2\) jest miejscem zerowym funkcji \(f(x)= mx^2-m-9\) dla
\( m=1 \)
\( m=2 \)
\( m=3 \)
\( m=4 \)

Zadanie 17b. (1 pkt)

Dla jakiego parametru \(m\) liczba \(x=1\) jest miejscem zerowym funkcji \(f(x)=2x^2+mx\)?
\( m=-2 \)
\( m=2 \)
\( m=4 \)
\( m=-4 \)

Zadanie 18. (1 pkt)

Zbiorem rozwiązań nierówności \(x^2\ge 9\) jest
\( (-\infty,-3 \rangle \cup \langle 3, +\infty ) \)
\( \langle -3, 3 \rangle \)
\( \langle -3, +\infty ) \)
\( \langle 3, +\infty ) \)

Zadanie 18a. (1 pkt)

Zbiorem rozwiązań nierówności \(x^2\ge 25\) jest
\( (-\infty,-5 \rangle \cup \langle 5, +\infty ) \)
\( \langle -5, 5 \rangle \)
\( \langle -5, +\infty ) \)
\( \langle 5, +\infty ) \)

Zadanie 18b. (1 pkt)

Zbiorem rozwiązań nierówności \(x^2+2x\ge -1\) jest
\( (-\infty,-2 \rangle \cup \langle 0, +\infty ) \)
\( \langle -2, 0 \rangle \)
\( \left \{ 1 \right \} \)
\( (-\infty , +\infty ) \)

Zadanie 19. (1 pkt)

Zaznaczony na rysunku kąt \(\alpha \) jest równy
\( 50^\circ \)
\( 40^\circ \)
\( 30^\circ \)
\( 10^\circ \)

Zadanie 19a. (1 pkt)

Zaznaczony na rysunku kąt \(\alpha \) jest równy
\( 50^\circ \)
\( 60^\circ \)
\( 70^\circ \)
\( 80^\circ \)

Zadanie 19b. (1 pkt)

Zaznaczony na rysunku kąt \(\alpha \) jest równy
\( 25^\circ \)
\( 30^\circ \)
\( 35^\circ \)
\( 40^\circ \)

Zadanie 20. (1 pkt)

Która z liczb jest rozwiązaniem równania \(2(x-1)+x=x-3(2-3x)\)?
\( \frac{8}{11} \)
\( -\frac{4}{11} \)
\( \frac{4}{7} \)
\( -1 \)

Zadanie 20a. (1 pkt)

Która z liczb jest rozwiązaniem równania \(5x-7=0\cdot (x+11)-2\cdot (1-3x)\)?
\( 5 \)
\( -5 \)
\( 6 \)
\( -1 \)

Zadanie 20b. (1 pkt)

Która z liczb jest rozwiązaniem równania \(2x^2-7x=-30-2x(1-x)\)?
\( 5 \)
\( -5 \)
\( 6 \)
\( -1 \)

Zadanie 21. (1 pkt)

Liczba \(2^{40}\cdot 4^{20}\) jest równa
\( 4^{40} \)
\( 4^{50} \)
\( 8^{60} \)
\( 8^{800} \)

Zadanie 21a. (1 pkt)

Liczba \(7^7\cdot 7^8\) jest równa
\( 7^{56} \)
\( 14^{56} \)
\( 49^{15} \)
\( 7^{15} \)

Zadanie 21b. (1 pkt)

Liczba \(5^{17}\cdot 6^{17}\) jest równa
\( 30^{34} \)
\( 30^{17} \)
\( 11^{17} \)
\( 11^{34} \)

Zadanie 22. (1 pkt)

Wskaż liczbę, której \(4\%\) jest równe \(8\).
\( 3{,}2 \)
\( 32 \)
\( 100 \)
\( 200 \)

Zadanie 22a. (1 pkt)

Wskaż liczbę o \(8\%\) mniejszą od \(200\).
\( 16 \)
\( 160 \)
\( 184 \)
\( 192 \)

Zadanie 22b. (1 pkt)

Przed obniżką rower kosztował \(230\) zł, a po obniżce \(207\) zł. Cenę roweru obniżono o
\( 23\% \)
\( 11{,}5\% \)
\( 10\% \)
\( 5\% \)

Zadanie 23. (1 pkt)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\cos \alpha =0{,}9\). Wówczas
\( \alpha <30^\circ \)
\( \alpha =30^\circ \)
\( \alpha =45^\circ \)
\( \alpha >45^\circ \)

Zadanie 23a. (1 pkt)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =0{,}8\). Wówczas
\( \alpha <30^\circ \)
\( \alpha =30^\circ \)
\( \alpha =45^\circ \)
\( \alpha >45^\circ \)

Zadanie 23b. (1 pkt)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha = \cos \alpha \). Wówczas
\( \alpha =30^\circ \)
\( \alpha =45^\circ \)
\( \alpha =60^\circ \)
\( \alpha =90^\circ \)

Zadanie 24. (1 pkt)

Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy \(4\), a czwarty wyraz tego ciągu jest równy \((-2)\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
\( 16 \)
\( -16 \)
\( 8 \)
\( -8 \)

Zadanie 24a. (1 pkt)

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy \(1\), a drugi wyraz tego ciągu jest równy \(2\). Czwarty wyraz tego ciągu jest równy
\( 16 \)
\( -16 \)
\( 8 \)
\( -8 \)

Zadanie 24b. (1 pkt)

Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy \(5\), a iloraz tego ciągu jest równy \(3\). Trzydziesty wyraz tego ciągu jest równy
\( 3\cdot {5}^{30} \)
\( 3\cdot {5}^{29} \)
\( 5\cdot {3}^{25} \)
\( 5\cdot {3}^{29} \)

Zadanie 25. (1 pkt)

Ze zbioru liczb \(\{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \}\) wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba \(p\) jest prawdopodobieństwem wylosowania liczby podzielnej przez \(3\). Wtedy
\( p<0{,}3 \)
\( p=0{,}3 \)
\( p=\frac{1}{3} \)
\( p>\frac{1}{3} \)

Zadanie 25a. (1 pkt)

Ze zbioru liczb \(\{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \}\) wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba \(p\) jest prawdopodobieństwem wylosowania liczby podzielnej przez \(2\). Wtedy
\( p<0{,}25 \)
\( p=0{,}25 \)
\( p=0{,}5 \)
\( p>0{,}5 \)

Zadanie 25b. (1 pkt)

Ze zbioru liczb \(\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 \}\) wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba \(p\) jest prawdopodobieństwem wylosowania liczby podzielnej przez \(2\) lub przez \(3\). Wtedy
\( p=\frac{5}{11} \)
\( p=\frac{6}{11} \)
\( p=\frac{7}{11} \)
\( p=\frac{8}{11} \)

Zadanie 26. (2 pkt)

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=(-1)^n\frac{2-n}{n^2}\) dla \(n\ge 1\). Oblicz \(a_2\) i \(a_5\).

Zadanie 26a. (2 pkt)

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=(-1)^n\frac{2-n}{n^2}\) dla \(n\ge 1\). Oblicz wartość wyrażenia \(a_{20}-a_{10}\).

Zadanie 26b. (2 pkt)

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=n+|1-3n|\) dla \(n\ge 1\). Oblicz wyrazy \(a_{37}\) i \(a_{103}\).

Zadanie 27. (2 pkt)

Rozwiąż równanie \(x^3-12x^2+x-12=0.\)

Zadanie 27a. (2 pkt)

Rozwiąż równanie \(2x^3-16x^2-8x+64=0.\)

Zadanie 27b. (2 pkt)

Rozwiąż równanie \(4x^4-9x^2=0.\)

Zadanie 28. (2 pkt)

Punkt \(E\) leży na ramieniu \(BC\) trapezu \(ABCD\), w którym \(AB\parallel CD\). Udowodnij, że \(|\sphericalangle AED|=|\sphericalangle BAE|+|\sphericalangle CDE|\).

Zadanie 28a. (2 pkt)

Punkt \(E\) leży na ramieniu \(BC\) trapezu \(ABCD\), w którym \(AB\parallel CD\). Udowodnij, że jeżeli \(|EC|=|CD|\) oraz \(|EB|=|BA|\) to kąt \(AED\) jest prosty.

Zadanie 28b. (2 pkt)

Trójkąty prostokątne równoramienne \(ABC\) i \(CDE\) są położone tak jak na poniższym obrazku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku \(C\) jest prosty). Wykaż, że \(|AD|=|BE|\).

Zadanie 29. (2 pkt)

Podaj przykład liczb całkowitych dodatnich \(a\) i \(b\), spełniających \(\frac{4}{9}<\frac{a}{b}<\frac{5}{9}\).

Zadanie 29a. (2 pkt)

Podaj przykład liczb całkowitych dodatnich \(x\) i \(y\), spełniających \(\frac{11}{13}<\frac{x}{y}<\frac{12}{13}\).

Zadanie 29b. (2 pkt)

Podaj przykład liczb ujemnych \(x\) i \(y\), spełniających \(\frac{11}{13}<\frac{x^2}{y^2}<\frac{12}{13}\).

Zadanie 30. (2 pkt)

Dany jest prostokąt o bokach \(a\) i \(b\) oraz prostokąt o bokach \(c\) i \(d\). Długość boku \(c\) to \(90\%\) długości boku \(a\). Długość boku \(d\) to \(120\%\) długości boku \(b\). Oblicz, ile procent pola prostokąta o bokach \(a\) i \(b\) stanowi pole prostokąta o bokach \(c\) i \(d\).

Zadanie 30a. (2 pkt)

Dany jest prostokąt o bokach \(a\) i \(b\) oraz prostokąt o bokach \(c\) i \(d\). Długość boku \(c\) to \(70\%\) długości boku \(a\). Długość boku \(d\) to \(130\%\) długości boku \(b\). Oblicz, ile procent pola prostokąta o bokach \(a\) i \(b\) stanowi pole prostokąta o bokach \(c\) i \(d\).

Zadanie 30b. (2 pkt)

Dany jest trójkąt równoboczny o boku \(a\) oraz kwadrat o boku \(b\). Długość boku \(b\) jest dwa razy mniejsza od długości boku \(a\). Oblicz, ile razy pole trójkąta jest większe od pola kwadratu.

Zadanie 31. (6 pkt)

Dwa pociągi towarowe wyjechały z miast \(A\) i \(B\) oddalonych od siebie o \(540\) km. Pociąg jadący z miasta \(A\) do miasta \(B\) wyjechał o godzinę wcześniej niż pociąg jadący z miasta \(B\) do miasta \(A\) i jechał z prędkością o \(9\) km/h mniejszą. Pociągi te minęły się w połowie drogi. Oblicz z jakimi prędkościami jechały te pociągi.

Zadanie 31a. (6 pkt)

W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię \(240\) m2. Basen w drugim hotelu ma powierzchnię \(350\) m2 oraz jest o \(5\) m dłuższy i o \(2\) m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz jakie wymiary ma pierwszy basen.

Zadanie 31b. (6 pkt)

Prostokątna działka ma powierzchnię \(300\) m2. Wiadomo, że jeden bok jest o \(5\) m dłuższy od drugiego. Ile kosztowało ogrodzenie tej działki, jeżeli za \(1\) m siatki właściciel zapłacił \(30\) zł?

Zadanie 32. (4 pkt)

Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się \(9\) kul: \(4\) białe, \(3\) czarne i \(2\) zielone. W drugim pojemniku jest \(6\) kul: \(2\) białe, \(3\) czarne i \(1\) zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru.

Zadanie 32a. (4 pkt)

Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się \(9\) kul: \(4\) białe, \(3\) czarne i \(2\) zielone. W drugim pojemniku jest \(6\) kul: \(2\) białe, \(3\) czarne i \(1\) zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul różnych kolorów.

Zadanie 32b. (4 pkt)

Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się \(11\) kul: \(7\) białych i \(4\) czarne. W drugim pojemniku jest \(6\) kul: \(3\) białe i \(3\) czarne. Z każdego pojemnika losujemy po dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania czterech kul czarnych.

Zadanie 33. (5 pkt)

Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(8\). Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(40^\circ \). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 33a. (5 pkt)

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(\sqrt{2}\). Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 6\(0^\circ \). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 33b. (5 pkt)

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(1\), a wysokość jest równa \(2\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.