Jesteś tu: Działy tematyczneLiczby i działaniaPotęgowanie i pierwiastkowanieMnożenie potęg o tej samej podstawie

Mnożenie potęg o tej samej podstawie

Potęgi o tej samej podstawie mnożymy według wzoru: \[a^m\cdot a^n=a^{m+n}\] Uzasadnienie wzoru: \[a^m\cdot a^n=\underbrace{\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot...\cdot a}_{m \text{ razy}}\cdot \underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot...\cdot a}_{n \text{ razy}}}_{m+n \text{ razy}}=a^{m+n}\]
\[5^3\cdot 5^4=5^{3+4}=5^7\]
\[5^9\cdot 5^{17}=5^{9+17}=5^{26}\]
\[3^6\cdot 3=3^6\cdot 3^1=3^{6+1}=3^7\]
\[\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3=\left(\frac{1}{2}\right)^{2+3}=\left(\frac{1}{2}\right)^5\]
\[\left(\frac{7}{4}\right)^{10}\cdot \left(\frac{7}{4}\right)^{32}=\left(\frac{7}{4}\right)^{10+32}=\left(\frac{7}{4}\right)^{42}\]
\[\left(\sqrt{2}\right)^5\cdot \left(\sqrt{2}\right)^3=\left(\sqrt{2}\right)^{5+3}=\left(\sqrt{2}\right)^8\]
\[\pi^3\cdot \pi^{-4}=\pi^{3+(-4)}=\pi^{3-4}=\pi^{-1}\]
\[2^{\tfrac{1}{2}}\cdot 2^{\tfrac{1}{3}}=2^{\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}}=2^{\tfrac{5}{6}}\]
Gdy mnożymy kilka potęg o tej samej podstawie, to również dodajemy wykładniki.
\[5^3\cdot 5^4\cdot 5^7=5^{3+4+7}=5^{14}\]
\[3^6\cdot 3^2\cdot 3^{11}=3^{6+2+11}=3^{19}\]
\[\left(\frac{1}{5}\right)^2\cdot \left(\frac{1}{5}\right)^3\cdot \left(\frac{1}{5}\right)^4=\left(\frac{1}{5}\right)^{2+3+4}=\left(\frac{1}{5}\right)^9\]