Jesteś tutaj: SzkołaLogarytmyLogarytmy - najważniejsze wzory
◀ Wprowadzenie do logarytmów

Logarytmy - najważniejsze wzory

Jeżeli \(a \gt 0, a \ne 1, b \gt 0\) oraz \( c \gt 0\), to zachodzą następujące wzory: \[ \begin{split} &\log_ab+\log_ac=\log_a(b\cdot c)\\[6pt] &\log_ab-\log_ac=\log_a\left(\frac{b}{c}\right)\\[6pt] &n\cdot \log_ab=\log_a(b^n)=\log_{a^{\frac{1}{n}}}b\\[6pt] &a^{\log_ab}=b\\[6pt] &\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca} \end{split} \]
Oblicz \(\log_26+\log_2\frac{2}{3}\).
Korzystamy ze wzoru na dodawanie logarytmów: \(\log_ab+\log_ac=\log_a(b\cdot c)\): \[\log_26+\log_2\frac{2}{3}=\log_2\left(6\cdot\frac{2}{3}\right)=\log_24=2 \]
Oblicz \(\log_318-\log_32\).
Korzystamy ze wzoru na odejmowanie logarytmów: \(\log_ab-\log_ac=\log_a\left(\frac{b}{c}\right)\): \[\log_318-\log_32=\log_3\left(\frac{18}{2}\right)=\log_39=2\]
Wyciąganie wykładnika potęgi przed logarytm: \[\log_27^3=3\log_27=\log_{2^{\frac{1}{3}}}7=\log_\sqrt[3]{2}7\] W tym przykładzie wykorzystaliśmy wzory: \[\begin{split} &\log_a(b^n)=n\cdot \log_ab\\[6pt] &\log_{a^{n}}b=\frac{1}{n}\log_ab \end{split}\]
Wykaż, że zachodzi wzór: \(\log_a(b^n)=n\cdot \log_ab\)
Załóżmy, że \(\log_ab=c\). Wówczas mamy: \[a^c=b\] Możemy podnieść obie strony równania do potęgi \(n\): \[a^{nc}=b^n\] Teraz zapisujemy równanie w postaci logarytmicznej korzystając z definicji logarytmu: \[\log_ab^n=nc\] Skoro \(\log_ab=c\), zatem mamy: \[\log_ab^n=n\cdot \log_ab \ _\blacksquare\]
Wykaż, że zachodzi wzór: \(\log_{a^{n}}b=\frac{1}{n}\log_ab\)
Załóżmy, że \(\log_ab=c\). Wówczas mamy: \[a^c=b\] Podnosimy obie strony równania do potęgi \(n\): \[ a^{nc}=b^n\\[6pt] (a^n)^c=b^n \] Zapisujemy równanie w postaci logarytmicznej: \[\log_{a^n}b^n=c\] Korzystając z poprzedniego wzoru, mamy: \[n\log_{a^n}b=c\] Czyli: \[\log_{a^n}b=\frac{1}{n}c\] Korzystamy z założenia: \(\log_ab=c\) i otrzymujemy: \[\log_{a^n}b=\frac{1}{n}\cdot \log_ab \ _\blacksquare\]
Wykaż, że zachodzi wzór \(\log_{a^n}b=\frac{1}{n}\log_ab\).
Korzystamy ze wzoru na zamianę podstaw logarytmów, czyli: \(\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\).
Otrzymujemy: \[\log_{a^n}b=\frac{\log_ab}{\log_aa^n}=\frac{\log_ab}{n}=\frac{1}{n}\log_ab \ _\blacksquare\]