Matura 2012 sierpień

Arkusz zadań z matury poprawkowej 21 sierpnia 2012

Zadanie . (1 pkt)

Długość boku kwadratu \(k_2\) jest o \(10\%\) większa od długości boku kwadratu \(k_1\). Wówczas pole kwadratu \(k_2\) jest większe od pola kwadratu \(k_1\)
o \( 10\% \)
o \( 110\% \)
o \( 21\% \)
o \( 121\% \)
Reklamy

Zadanie . (1 pkt)

Iloczyn \(9^{-5}\cdot 3^8\) jest równy
\( 3^{-4} \)
\( 3^{-9} \)
\( 9^{-1} \)
\( 9^{-9} \)

Zadanie . (1 pkt)

Liczba \(\log_{3}27-\log_{3}1\) jest równa
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 2 \)
\( 3 \)

Zadanie . (1 pkt)

Liczba \((2-3\sqrt{2})^2\) jest równa
\( -14 \)
\( 22 \)
\( -14-12\sqrt{2} \)
\( 22-12\sqrt{2} \)

Zadanie . (1 pkt)

Liczba \((−2)\) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=mx+2\). Wtedy
\( m=3 \)
\( m=1 \)
\( m=-2 \)
\( m=-4 \)
Reklama

Zadanie . (1 pkt)

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności \(|x + 4| \le 7\).

Zadanie . (1 pkt)

Dana jest parabola o równaniu \(y=x^2+8x-14\). Pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa
\( x=-8 \)
\( x=-4 \)
\( x=4 \)
\( x=8 \)

Zadanie . (1 pkt)

Wskaż fragment wykresu funkcji kwadratowej, której zbiorem wartości jest \(\langle -2,+\infty )\).

Zadanie . (1 pkt)

Zbiorem rozwiązań nierówności \(x(x+6)\lt 0\) jest
\( (-6,0) \)
\( (0,6) \)
\( (-\infty ,-6)\cup (0,+\infty ) \)
\( (-\infty ,0)\cup (6,+\infty ) \)

Zadanie . (1 pkt)

Wielomian \(W(x)=x^6+x^3-2\) jest równy iloczynowi
\( (x^3+1)(x^2-2) \)
\( (x^3-1)(x^3+2) \)
\( (x^2+2)(x^4-1) \)
\( (x^4-2)(x+1) \)

Zadanie . (1 pkt)

Równanie \(\frac{(x+3)(x-2)}{(x-3)(x+2)}=0\) ma
dokładnie jedno rozwiązanie
dokładnie dwa rozwiązania
dokładnie trzy rozwiązania
dokładnie cztery rozwiązania

Zadanie . (1 pkt)

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=\frac{n}{(-2)^n}\) dla \(n\ge 1\). Wówczas
\( a_3=\frac{1}{2} \)
\( a_3=-\frac{1}{2} \)
\( a_3=\frac{3}{8} \)
\( a_3=-\frac{3}{8} \)

Zadanie . (1 pkt)

W ciągu geometrycznym \((a_n)\) dane są: \(a_1=36\), \(a_2=18\). Wtedy
\( a_4=-18 \)
\( a_4=0 \)
\( a_4=4{,}5 \)
\( a_4=144 \)

Zadanie . (1 pkt)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{7}{13}\). Wtedy \(\operatorname{tg} \alpha \) jest równy
\( \frac{7}{6} \)
\( \frac{7\cdot 13}{120} \)
\( \frac{7}{\sqrt{120}} \)
\( \frac{7}{13\sqrt{120}} \)

Zadanie . (1 pkt)

W trójkącie prostokątnym dane są długości boków (zobacz rysunek). Wtedy
\( \cos \alpha = \frac{9}{11}\)
\( \sin \alpha = \frac{9}{11}\)
\( \sin \alpha = \frac{11}{2\sqrt{10}} \)
\( \cos \alpha = \frac{2\sqrt{10}}{11} \)

Zadanie . (1 pkt)

Przekątna \(AC\) prostokąta \(ABCD\) ma długość \(14\). Bok \(AB\) tego prostokąta ma długość \(6\). Długość boku \(BC\) jest równa
\( 8 \)
\( 4\sqrt{10} \)
\( 2\sqrt{58} \)
\( 10 \)

Zadanie . (1 pkt)

Punkty \(A\), \(B\) i \(C\) leżą na okręgu o środku \(S\) (zobacz rysunek). Miara zaznaczonego kąta wpisanego \(ACB\) jest równa
\( 65^\circ \)
\( 100^\circ \)
\( 115^\circ \)
\( 130^\circ \)

Zadanie . (1 pkt)

Długość boku trójkąta równobocznego jest równa \(24\sqrt{3}\). Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy
\( 36 \)
\( 18 \)
\( 12 \)
\( 6 \)

Zadanie . (1 pkt)

Wskaż równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej do prostej o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\).
\( y=3x \)
\( y=-3x \)
\( y=3x+2 \)
\( y=\frac{1}{3}x+2 \)

Zadanie . (1 pkt)

Punkty \(B = (−2, 4)\) i \(C = (5, 1)\) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Pole tego kwadratu jest równe
\( 74 \)
\( 58 \)
\( 40 \)
\( 29 \)

Zadanie . (1 pkt)

Dany jest okrąg o równaniu \((x+4)^2+(y-6)^2=100\) . Środek tego okręgu ma współrzędne
\( (-4,-6) \)
\( (4,6) \)
\( (4,-6) \)
\( (-4,6) \)

Zadanie . (1 pkt)

Objętość sześcianu jest równa \(64\). Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe
\( 512 \)
\( 384 \)
\( 96 \)
\( 16 \)

Zadanie . (1 pkt)

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku \(a\). Objętość tego stożka wyraża się wzorem
\( \frac{\sqrt{3}}{6}\pi a^3 \)
\( \frac{\sqrt{3}}{8}\pi a^3 \)
\( \frac{\sqrt{3}}{12}\pi a^3 \)
\( \frac{\sqrt{3}}{24}\pi a^3 \)

Zadanie . (1 pkt)

Pewna firma zatrudnia \(6\) osób. Dyrektor zarabia \(8000\) zł, a pensje pozostałych pracowników są równe: \(2000\) zł, \(2800\) zł, \(3400\) zł, \(3600\) zł, \(4200\) zł. Mediana zarobków tych \(6\) osób jest równa
\( 3400 \) zł
\( 3500 \) zł
\( 6000 \) zł
\( 7000 \) zł

Zadanie . (1 pkt)

Ze zbioru \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}\)  wybieramy losowo jedną liczbę. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez \(4\). Wówczas
\( p\lt \frac{1}{5} \)
\( p=\frac{1}{5} \)
\( p=\frac{1}{4} \)
\( p>\frac{1}{4} \)

Zadanie . (2 pkt)

Rozwiąż nierówność \(x^2-8x+7\ge 0\).

Zadanie . (2 pkt)

Rozwiąż równanie \(x^3-6x^2-9x+54=0\).

Zadanie . (2 pkt)

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(3\), czwarty wyraz tego ciągu jest równy \(15\). Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.

Zadanie . (2 pkt)

W trójkącie równoramiennym \(ABC\) dane są \(|AC| = |BC| = 6\) i \(|\sphericalangle ACB|=30^\circ \) (zobacz rysunek). Oblicz wysokość \(AD\) trójkąta opuszczoną z wierzchołka \(A\) na bok \(BC\).

Zadanie . (2 pkt)

Dany jest równoległobok \(ABCD\). Na przedłużeniu przekątnej \(AC\) wybrano punkt \(E\) tak, że \(|CE|=\frac{1}{2}|AC|\). Uzasadnij, że pole równoległoboku \(ABCD\) jest cztery razy większe od pola trójkąta \(DCE\).

Zadanie . (2 pkt)

Wykaż, że jeżeli \(c\lt 0\), to trójmian kwadratowy \(y=x^2+bx+c\) ma dwa różne miejsca zerowe.

Zadanie . (4 pkt)

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\) oraz \(A = (2, 1)\) i \(C = (1, 9)\). Podstawa \(AB\) tego trójkąta jest zawarta w prostej \(y=\frac{1}{2}x\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\).

Zadanie . (4 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\) i wierzchołku \(S\) trójkąt \(ACS\) jest równoboczny i ma bok długości \(8\). Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).

Zadanie . (5 pkt)

Kolarz pokonał trasę \(114\) km. Gdyby jechał ze średnią prędkością mniejszą o \(9{,}5\) km/h, to pokonałby tę trasę w czasie o \(2\) godziny dłuższym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten kolarz.