Matura 2012 sierpień

Zadanie 1. (1 pkt)

Długość boku kwadratu \(k_2\) jest o \(10\%\) większa od długości boku kwadratu \(k_1\). Wówczas pole kwadratu \(k_2\) jest większe od pola kwadratu \(k_1\)
o \( 10\% \)
o \( 110\% \)
o \( 21\% \)
o \( 121\% \)

Zadanie 2. (1 pkt)

Iloczyn \(9^{-5}\cdot 3^8\) jest równy
\( 3^{-4} \)
\( 3^{-9} \)
\( 9^{-1} \)
\( 9^{-9} \)

Zadanie 3. (1 pkt)

Liczba \(\log_{3}27-\log_{3}1\) jest równa
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 2 \)
\( 3 \)

Zadanie 4. (1 pkt)

Liczba \((2-3\sqrt{2})^2\) jest równa
\( -14 \)
\( 22 \)
\( -14-12\sqrt{2} \)
\( 22-12\sqrt{2} \)

Zadanie 5. (1 pkt)

Liczba \((−2)\) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=mx+2\). Wtedy
\( m=3 \)
\( m=1 \)
\( m=-2 \)
\( m=-4 \)

Zadanie 6. (1 pkt)

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności \(|x + 4| \le 7\).

Zadanie 7. (1 pkt)

Dana jest parabola o równaniu \(y=x^2+8x-14\). Pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa
\( x=-8 \)
\( x=-4 \)
\( x=4 \)
\( x=8 \)

Zadanie 8. (1 pkt)

Wskaż fragment wykresu funkcji kwadratowej, której zbiorem wartości jest \(\langle -2,+\infty )\).

Zadanie 9. (1 pkt)

Zbiorem rozwiązań nierówności \(x(x+6)<0\) jest
\( (-6,0) \)
\( (0,6) \)
\( (-\infty ,-6)\cup (0,+\infty ) \)
\( (-\infty ,0)\cup (6,+\infty ) \)

Zadanie 10. (1 pkt)

Wielomian \(W(x)=x^6+x^3-2\) jest równy iloczynowi
\( (x^3+1)(x^2-2) \)
\( (x^3-1)(x^3+2) \)
\( (x^2+2)(x^4-1) \)
\( (x^4-2)(x+1) \)

Zadanie 11. (1 pkt)

Równanie \(\frac{(x+3)(x-2)}{(x-3)(x+2)}=0\) ma
dokładnie jedno rozwiązanie
dokładnie dwa rozwiązania
dokładnie trzy rozwiązania
dokładnie cztery rozwiązania

Zadanie 12. (1 pkt)

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=\frac{n}{(-2)^n}\) dla \(n\ge 1\). Wówczas
\( a_3=\frac{1}{2} \)
\( a_3=-\frac{1}{2} \)
\( a_3=\frac{3}{8} \)
\( a_3=-\frac{3}{8} \)

Zadanie 13. (1 pkt)

W ciągu geometrycznym \((a_n)\) dane są: \(a_1=26\), \(a_2=18\). Wtedy
\( a_4=-18 \)
\( a_4=0 \)
\( a_4=4{,}5 \)
\( a_4=144 \)

Zadanie 14. (1 pkt)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{7}{13}\). Wtedy \(\operatorname{tg} \alpha \) jest równy
\( \frac{7}{6} \)
\( \frac{7\cdot 13}{120} \)
\( \frac{7}{\sqrt{120}} \)
\( \frac{7}{13\sqrt{120}} \)

Zadanie 15. (1 pkt)

W trójkącie prostokątnym dane są długości boków (zobacz rysunek). Wtedy
\( \cos \alpha = \frac{9}{11}\)
\( \sin \alpha = \frac{9}{11}\)
\( \sin \alpha = \frac{11}{2\sqrt{10}} \)
\( \cos \alpha = \frac{2\sqrt{10}}{11} \)

Zadanie 16. (1 pkt)

Przekątna \(AC\) prostokąta \(ABCD\) ma długość \(14\). Bok \(AB\) tego prostokąta ma długość \(6\). Długość boku \(BC\) jest równa
\( 8 \)
\( 4\sqrt{10} \)
\( 2\sqrt{58} \)
\( 10 \)

Zadanie 17. (1 pkt)

Punkty \(A\), \(B\) i \(C\) leżą na okręgu o środku \(S\) (zobacz rysunek). Miara zaznaczonego kąta wpisanego \(ACB\) jest równa
\( 65^\circ \)
\( 100^\circ \)
\( 115^\circ \)
\( 130^\circ \)

Zadanie 18. (1 pkt)

Długość boku trójkąta równobocznego jest równa \(24\sqrt{3}\). Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy
\( 36 \)
\( 18 \)
\( 12 \)
\( 6 \)

Zadanie 19. (1 pkt)

Wskaż równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej do prostej o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\).
\( y=3x \)
\( y=-3x \)
\( y=3x+2 \)
\( y=\frac{1}{3}x+2 \)

Zadanie 20. (1 pkt)

Punkty \(B = (−2, 4)\) i \(C = (5, 1)\) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Pole tego kwadratu jest równe
\( 74 \)
\( 58 \)
\( 40 \)
\( 29 \)

Zadanie 21. (1 pkt)

Dany jest okrąg o równaniu \((x+4)^2+(y-6)^2=100\) . Środek tego okręgu ma współrzędne
\( (-4,-6) \)
\( (4,6) \)
\( (4,-6) \)
\( (-4,6) \)

Zadanie 22. (1 pkt)

Objętość sześcianu jest równa \(64\). Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe
\( 512 \)
\( 384 \)
\( 96 \)
\( 16 \)

Zadanie 23. (1 pkt)

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku \(a\). Objętość tego stożka wyraża się wzorem
\( \frac{\sqrt{3}}{6}\pi a^3 \)
\( \frac{\sqrt{3}}{8}\pi a^3 \)
\( \frac{\sqrt{3}}{12}\pi a^3 \)
\( \frac{\sqrt{3}}{24}\pi a^3 \)

Zadanie 24. (1 pkt)

Pewna firma zatrudnia \(6\) osób. Dyrektor zarabia \(8000\) zł, a pensje pozostałych pracowników są równe: \(2000\) zł, \(2800\) zł, \(3400\) zł, \(3600\) zł, \(4200\) zł. Mediana zarobków tych \(6\) osób jest równa
\( 3400 \) zł
\( 3500 \) zł
\( 6000 \) zł
\( 7000 \) zł

Zadanie 25. (1 pkt)

Ze zbioru \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}\)  wybieramy losowo jedną liczbę. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez \(4\). Wówczas
\( p<\frac{1}{5} \)
\( p=\frac{1}{5} \)
\( p=\frac{1}{4} \)
\( p>\frac{1}{4} \)

Zadanie 26. (2 pkt)

Rozwiąż nierówność \(x^2-8x+7\ge 0\).

Zadanie 27. (2 pkt)

Rozwiąż równanie \(x^3-6x^2-9x+54=0\).

Zadanie 28. (2 pkt)

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(3\), czwarty wyraz tego ciągu jest równy \(15\). Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.

Zadanie 29. (2 pkt)

W trójkącie równoramiennym \(ABC\) dane są \(|AC| = |BC| = 6\) i \(|\sphericalangle ACB|=30^\circ \) (zobacz rysunek). Oblicz wysokość \(AD\) trójkąta opuszczoną z wierzchołka \(A\) na bok \(BC\).

Zadanie 30. (2 pkt)

Dany jest równoległobok \(ABCD\). Na przedłużeniu przekątnej \(AC\) wybrano punkt \(E\) tak, że \(|CE|=\frac{1}{2}|AC|\). Uzasadnij, że pole równoległoboku \(ABCD\) jest cztery razy większe od pola trójkąta \(DCE\).

Zadanie 31. (2 pkt)

Wykaż, że jeżeli \(c<0\), to trójmian kwadratowy \(y=x^2+bx+c\) ma dwa różne miejsca zerowe.

Zadanie 32. (4 pkt)

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\) oraz \(A = (2, 1)\) i \(C = (1, 9)\). Podstawa \(AB\) tego trójkąta jest zawarta w prostej \(y=\frac{1}{2}x\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\).

Zadanie 33. (4 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\) i wierzchołku \(S\) trójkąt \(ACS\) jest równoboczny i ma bok długości \(8\). Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).

Zadanie 34. (5 pkt)

Kolarz pokonał trasę \(114\) km. Gdyby jechał ze średnią prędkością mniejszą o \(9{,}5\) km/h, to pokonałby tę trasę w czasie o \(2\) godziny dłuższym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten kolarz.