Matura 2013 maj

Zadanie 1. (1 pkt)

Wskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność \(|x + 4| < 5\)

Zadanie 2. (1 pkt)

Liczby \(a\) i \(b\) są dodatnie oraz \(12\%\) liczby \(a\) jest równe \(15\%\) liczby \(b\). Stąd wynika, że \(a\) jest równe
\( 103\% \) liczby\(b\) \( 125\% \) liczby\(b\) \( 150\% \) liczby\(b\) \( 153\% \) liczby\(b\)

Zadanie 3. (1 pkt)

Liczba \(\log 100-\log_{2}8\) jest równa
\( -2 \) \( -1 \) \( 0 \) \( 1 \)

Zadanie 4. (1 pkt)

Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} 5x+3y=3\\ 8x-6y=48 \end{cases} \)   jest para liczb
\( x=-3 \) i \(y=4\) \( x=-3 \) i \(y=6\) \( x=3 \) i \(y=-4\) \( x=9 \) i \(y=4\)

Zadanie 5. (1 pkt)

Punkt \(A=(0, 1)\) leży na wykresie funkcji liniowej \(f(x)=(m-2)x+m-3\). Stąd wynika, że
\( m=1 \) \( m=2 \) \( m=3 \) \( m=4 \)

Zadanie 6. (1 pkt)

Wierzchołkiem paraboli o równaniu \(y=-3(x-2)^2+4\) jest punkt o współrzędnych
\( (-2, -4) \) \( (-2, 4) \) \( (2, -4) \) \( (2, 4) \)

Zadanie 7. (1 pkt)

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\), wyrażenie \(4x^2-12x+9\) jest równe
\( (4x+3)(x+3) \) \( (2x-3)(2x+3) \) \( (2x-3)(2x-3) \) \( (x-3)(4x-3) \)

Zadanie 8. (1 pkt)

Prosta o równaniu \(y=\frac{2}{m}x+1\) jest prostopadła do prostej o równaniu \(y=-\frac{3}{2}x-1\). Stąd wynika, że
\( m=-3 \) \( m=\frac{2}{3} \) \( m=\frac{3}{2} \) \( m=3 \)

Zadanie 9. (1 pkt)

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej \(y=ax+b\).Jakie znaki mają współczynniki \(a\) i \(b\)?
\(a<0\) i \(b<0\) \(a<0\) i \(b>0\) \(a>0\) i \(b<0\) \(a>0\) i \(b>0\)

Zadanie 10. (1 pkt)

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(\frac{x}{2}\le \frac{2x}{3}+\frac{1}{4}\) jest
\( -2 \) \( -1 \) \( 0 \) \( 1 \)

Zadanie 11. (1 pkt)

Na rysunku 1 przedstawiony jest wykres funkcji \(y=f(x)\) określonej dla \(x\in [-7, 4]\).Rysunek 2 przedstawia wykres funkcji
\( y=f(x+2) \) \( y=f(x)-2 \) \( y=f(x-2) \) \( y=f(x)+2 \)

Zadanie 12. (1 pkt)

Ciąg \((27, 18, x+5)\) jest geometryczny. Wtedy
\( x=4 \) \( x=5 \) \( x=7 \) \( x=9 \)

Zadanie 13. (1 pkt)

Ciąg \((a_n)\) określony dla \(n\ge 1\) jest arytmetyczny oraz \(a_3=10\) i \(a_4=14\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
\( a_1=-2 \) \( a_1=2 \) \( a_1=6 \) \( a_1=12 \)

Zadanie 14. (1 pkt)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\). Wartość wyrażenia \(\cos^2\alpha -2\) jest równa
\( -\frac{7}{4} \) \( -\frac{1}{4} \) \( \frac{1}{2} \) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Zadanie 15. (1 pkt)

Średnice \(AB\) i \(CD\) okręgu o środku \(S\) przecinają się pod kątem \(50^\circ\) (tak jak na rysunku).Miara kąta \(\alpha \) jest równa
\( 25^\circ \) \( 30^\circ \) \( 40^\circ \) \( 50^\circ \)

Zadanie 16. (1 pkt)

Liczba rzeczywistych rozwiązań równania \((x+1)(x+2)(x^2+3)=0\) jest równa
\( 0 \) \( 1 \) \( 2 \) \( 4 \)

Zadanie 17. (1 pkt)

Punkty \(A=(-1, 2)\) i \(B=(5, -2)\) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami rombu \(ABCD\). Obwód tego rombu jest równy
\( \sqrt{13} \) \( 13 \) \( 676 \) \( 8\sqrt{13} \)

Zadanie 18. (1 pkt)

Punkt \(S=(-4, 7)\) jest środkiem odcinka \(PQ\), gdzie \(Q=(17, 12)\). Zatem punkt \(P\) ma współrzędne
\( P=(2, -25) \) \( P=(38, 17) \) \( P=(-25, 2) \) \( P=(-12, 4) \)

Zadanie 19. (1 pkt)

Odległość między środkami okręgów o równaniach \((x+1)^2+(y-2)^2=9\) oraz \(x^2+y^2=10\) jest równa
\( \sqrt{5} \) \( \sqrt{10}-3 \) \( 3 \) \( 5 \)

Zadanie 20. (1 pkt)

Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest o \(10\) większa od liczby wszystkich jego ścian bocznych. Stąd wynika, że podstawą tego graniastosłupa jest
czworokąt pięciokąt sześciokąt dziesięciokąt

Zadanie 21. (1 pkt)

Pole powierzchni bocznej stożka o wysokości \(4\) i promieniu podstawy \(3\) jest równe
\( 9\pi \) \( 12\pi \) \( 15\pi \) \( 16\pi \)

Zadanie 22. (1 pkt)

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest równy \(5\). Wtedy
\( p=\frac{1}{36} \) \( p=\frac{1}{18} \) \( p=\frac{1}{12} \) \( p=\frac{1}{9} \)

Zadanie 23. (1 pkt)

Liczba \(\frac{\sqrt{50}-\sqrt{18}}{\sqrt{2}}\) jest równa
\( 2\sqrt{2} \) \( 2 \) \( 4 \) \( \sqrt{10}-\sqrt{6} \)

Zadanie 24. (1 pkt)

Mediana uporządkowanego niemalejąco zestawu sześciu liczb: \(1, 2, 3, x, 5, 8\) jest równa \(4\). Wtedy
\( x=2 \) \( x=3 \) \( x=4 \) \( x=5 \)

Zadanie 25. (1 pkt)

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości \(7\) jest równa \(28\sqrt{3}\) . Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa
\( 2 \) \( 4 \) \( 8 \) \( 16 \)

Zadanie 26. (2 pkt)

Rozwiąż równanie \(x^3+2x^2-8x-16=0\).

Zadanie 27. (2 pkt)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin^2\alpha - 3\cos^2\alpha \).

Zadanie 28. (2 pkt)

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x, y, z\) takich, że \(x+y+z=0\), prawdziwa jest nierówność \(xy+yz+zx\le 0\).
Możesz skorzystać z tożsamości \((x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz .\)

Zadanie 29. (2 pkt)

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji \(f(x)\) określonej dla \(x\in [-7, 8]\). Odczytaj z wykresu i zapisz:
  a) największą wartość funkcji \(f\),
  b) zbiór rozwiązań nierówności \(f(x)<0\).

Zadanie 30. (2 pkt)

Rozwiąż nierówność \(2x^2-7x+5 \ge 0\).

Zadanie 31. (2 pkt)

Wykaż, że liczba \(6^{100}-2 \cdot 6^{99}+10 \cdot 6^{98}\) jest podzielna przez \(17\).

Zadanie 32. (4 pkt)

Punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym \(ABC\). Kąt \(ACS\) jest trzy razy większy od kąta \(BAS\), a kąt \(CBS\) jest dwa razy większy od kąta \(BAS\). Oblicz kąty trójkąta \(ABC\).

Zadanie 33. (4 pkt)

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe \(100\) cm2, a jego pole powierzchni bocznej jest równe \(260\) cm2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 34. (5 pkt)

Dwa miasta łączy linia kolejowa o długości \(336\) kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę trasę w czasie o \(40\) minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej trasie była o \(9\) km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.