Matura 2013 maj

Arkusz zadań z matury 8 maja 2013 (grupa A)

Zadanie . (1 pkt)

Wskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność \(|x + 4| \lt 5\)
Reklamy

Zadanie . (1 pkt)

Liczby \(a\) i \(b\) są dodatnie oraz \(12\%\) liczby \(a\) jest równe \(15\%\) liczby \(b\). Stąd wynika, że \(a\) jest równe
\( 103\% \) liczby\(b\)
\( 125\% \) liczby\(b\)
\( 150\% \) liczby\(b\)
\( 153\% \) liczby\(b\)

Zadanie . (1 pkt)

Liczba \(\log 100-\log_{2}8\) jest równa
\( -2 \)
\( -1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)

Zadanie . (1 pkt)

Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} 5x+3y=3\\ 8x-6y=48 \end{cases} \)   jest para liczb
\( x=-3 \) i \(y=4\)
\( x=-3 \) i \(y=6\)
\( x=3 \) i \(y=-4\)
\( x=9 \) i \(y=4\)

Zadanie . (1 pkt)

Punkt \(A=(0, 1)\) leży na wykresie funkcji liniowej \(f(x)=(m-2)x+m-3\). Stąd wynika, że
\( m=1 \)
\( m=2 \)
\( m=3 \)
\( m=4 \)
Reklama

Zadanie . (1 pkt)

Wierzchołkiem paraboli o równaniu \(y=-3(x-2)^2+4\) jest punkt o współrzędnych
\( (-2, -4) \)
\( (-2, 4) \)
\( (2, -4) \)
\( (2, 4) \)

Zadanie . (1 pkt)

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\), wyrażenie \(4x^2-12x+9\) jest równe
\( (4x+3)(x+3) \)
\( (2x-3)(2x+3) \)
\( (2x-3)(2x-3) \)
\( (x-3)(4x-3) \)

Zadanie . (1 pkt)

Prosta o równaniu \(y=\frac{2}{m}x+1\) jest prostopadła do prostej o równaniu \(y=-\frac{3}{2}x-1\). Stąd wynika, że
\( m=-3 \)
\( m=\frac{2}{3} \)
\( m=\frac{3}{2} \)
\( m=3 \)

Zadanie . (1 pkt)

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej \(y=ax+b\).Jakie znaki mają współczynniki \(a\) i \(b\)?
\(a\lt 0\) i \(b\lt 0\)
\(a\lt 0\) i \(b>0\)
\(a>0\) i \(b\lt 0\)
\(a>0\) i \(b>0\)

Zadanie . (1 pkt)

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(\frac{x}{2}\le \frac{2x}{3}+\frac{1}{4}\) jest
\( -2 \)
\( -1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)

Zadanie . (1 pkt)

Na rysunku 1 przedstawiony jest wykres funkcji \(y=f(x)\) określonej dla \(x\in [-7, 4]\).Rysunek 2 przedstawia wykres funkcji
\( y=f(x+2) \)
\( y=f(x)-2 \)
\( y=f(x-2) \)
\( y=f(x)+2 \)

Zadanie . (1 pkt)

Ciąg \((27, 18, x+5)\) jest geometryczny. Wtedy
\( x=4 \)
\( x=5 \)
\( x=7 \)
\( x=9 \)

Zadanie . (1 pkt)

Ciąg \((a_n)\) określony dla \(n\ge 1\) jest arytmetyczny oraz \(a_3=10\) i \(a_4=14\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
\( a_1=-2 \)
\( a_1=2 \)
\( a_1=6 \)
\( a_1=12 \)

Zadanie . (1 pkt)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\). Wartość wyrażenia \(\cos^2\alpha -2\) jest równa
\( -\frac{7}{4} \)
\( -\frac{1}{4} \)
\( \frac{1}{2} \)
\( \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Zadanie . (1 pkt)

Średnice \(AB\) i \(CD\) okręgu o środku \(S\) przecinają się pod kątem \(50^\circ\) (tak jak na rysunku).Miara kąta \(\alpha \) jest równa
\( 25^\circ \)
\( 30^\circ \)
\( 40^\circ \)
\( 50^\circ \)

Zadanie . (1 pkt)

Liczba rzeczywistych rozwiązań równania \((x+1)(x+2)(x^2+3)=0\) jest równa
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 2 \)
\( 4 \)

Zadanie . (1 pkt)

Punkty \(A=(-1, 2)\) i \(B=(5, -2)\) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami rombu \(ABCD\). Obwód tego rombu jest równy
\( \sqrt{13} \)
\( 13 \)
\( 676 \)
\( 8\sqrt{13} \)

Zadanie . (1 pkt)

Punkt \(S=(-4, 7)\) jest środkiem odcinka \(PQ\), gdzie \(Q=(17, 12)\). Zatem punkt \(P\) ma współrzędne
\( P=(2, -25) \)
\( P=(38, 17) \)
\( P=(-25, 2) \)
\( P=(-12, 4) \)

Zadanie . (1 pkt)

Odległość między środkami okręgów o równaniach \((x+1)^2+(y-2)^2=9\) oraz \(x^2+y^2=10\) jest równa
\( \sqrt{5} \)
\( \sqrt{10}-3 \)
\( 3 \)
\( 5 \)

Zadanie . (1 pkt)

Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest o \(10\) większa od liczby wszystkich jego ścian bocznych. Stąd wynika, że podstawą tego graniastosłupa jest
czworokąt
pięciokąt
sześciokąt
dziesięciokąt

Zadanie . (1 pkt)

Pole powierzchni bocznej stożka o wysokości \(4\) i promieniu podstawy \(3\) jest równe
\( 9\pi \)
\( 12\pi \)
\( 15\pi \)
\( 16\pi \)

Zadanie . (1 pkt)

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest równy \(5\). Wtedy
\( p=\frac{1}{36} \)
\( p=\frac{1}{18} \)
\( p=\frac{1}{12} \)
\( p=\frac{1}{9} \)

Zadanie . (1 pkt)

Liczba \(\frac{\sqrt{50}-\sqrt{18}}{\sqrt{2}}\) jest równa
\( 2\sqrt{2} \)
\( 2 \)
\( 4 \)
\( \sqrt{10}-\sqrt{6} \)

Zadanie . (1 pkt)

Mediana uporządkowanego niemalejąco zestawu sześciu liczb: \(1, 2, 3, x, 5, 8\) jest równa \(4\). Wtedy
\( x=2 \)
\( x=3 \)
\( x=4 \)
\( x=5 \)

Zadanie . (1 pkt)

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości \(7\) jest równa \(28\sqrt{3}\) . Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa
\( 2 \)
\( 4 \)
\( 8 \)
\( 16 \)

Zadanie . (2 pkt)

Rozwiąż równanie \(x^3+2x^2-8x-16=0\).

Zadanie . (2 pkt)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin^2\alpha - 3\cos^2\alpha \).

Zadanie . (2 pkt)

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x, y, z\) takich, że \(x+y+z=0\), prawdziwa jest nierówność \(xy+yz+zx\le 0\).
Możesz skorzystać z tożsamości \((x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz .\)

Zadanie . (2 pkt)

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji \(f(x)\) określonej dla \(x\in [-7, 8]\). Odczytaj z wykresu i zapisz:
  a) największą wartość funkcji \(f\),
  b) zbiór rozwiązań nierówności \(f(x)\lt 0\).

Zadanie . (2 pkt)

Rozwiąż nierówność \(2x^2-7x+5 \ge 0\).

Zadanie . (2 pkt)

Wykaż, że liczba \(6^{100}-2 \cdot 6^{99}+10 \cdot 6^{98}\) jest podzielna przez \(17\).

Zadanie . (4 pkt)

Punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym \(ABC\). Kąt \(ACS\) jest trzy razy większy od kąta \(BAS\), a kąt \(CBS\) jest dwa razy większy od kąta \(BAS\). Oblicz kąty trójkąta \(ABC\).

Zadanie . (4 pkt)

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe \(100\) cm2, a jego pole powierzchni bocznej jest równe \(260\) cm2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie . (5 pkt)

Dwa miasta łączy linia kolejowa o długości \(336\) kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę trasę w czasie o \(40\) minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej trasie była o \(9\) km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.