Matura 2013 luty

Zadanie 1. (1 pkt)

Wskaż liczbę, której \(0{,}4\%\) jest równe \(12\).
A. \( 0{,}048 \) B. \( 0{,}48 \) C. \( 30 \) D. \( 3000 \)

Zadanie 2. (1 pkt)

Dane są wielomiany \(W(x)=-3x^3-5x^2+x\) oraz \(V(x)=x^3+2x^2-6x+1\).
Wówczas wielomian \(P(x)=-2W(x)-V(x)\) jest równy:
A. \( P(x)=5x^3+12x^2-8x+1 \) B. \( P(x)=-5x^3-12x^2+8x-1 \)
C. \( P(x)=5x^3+8x^2+4x-1 \) D. \( P(x)=-7x^3-8x^2-4x+1 \)

Zadanie 3. (1 pkt)

Zbiorem wartości funkcji, której wykres przedstawiono na rysunku jest przedział:
A. \( \langle -4,5 \rangle \) B. \( \langle -3,4 \rangle \) C. \( \langle -2,4 \rangle \) D. \( \langle -3,2 \rangle \)

Zadanie 4. (1 pkt)

Który wyraz ciągu \( a_n=-\frac{7}{3}n+21\) jest równy zero?
A. \( a_9 \) B. \( a_{18} \) C. \( a_{21} \) D. \( a_{49} \)

Zadanie 5. (1 pkt)

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości \(3\) i \(9\). Sinus najmniejszego kąta tego trójkąta jest równy:
A. \( \begin{split} \frac{3\sqrt{10}}{10} \end{split} \) B. \( \begin{split} \frac{1}{3} \end{split} \) C. \( \begin{split} \frac{\sqrt{10}}{10} \end{split} \) D. \( \begin{split} \frac{\sqrt{10}}{30} \end{split} \)

Zadanie 6. (1 pkt)

Wzorem funkcji kwadratowej \(f\), której fragment wykresu przedstawiono na rysunku jest:
A. \( f(x)=-\frac{1}{2}x^2+2x-1 \) B. \( f(x)=-\frac{1}{2}x^2+2x+1 \)
C. \( f(x)=-\frac{1}{2}x^2+x+1 \) D. \( f(x)=-\frac{1}{2}x^2-2x+1 \)

Zadanie 7. (1 pkt)

Wyrażenie \(\sqrt[3]{9}\cdot \sqrt[5]{27}\) zapisane w postaci potęgi liczby \(3\) jest równe:
A. \( 3^{\frac{2}{5}} \) B. \( 3^{\frac{5}{8}} \) C. \( 3^{\frac{19}{15}} \) D. \( 3^{\frac{8}{5}} \)

Zadanie 8. (1 pkt)

Interpretację geometryczną układu równań \[\begin{cases} x-y=2\\ -2x+2y=4 \end{cases} \] przedstawiono na rysunku:

Zadanie 9. (1 pkt)

Wielomian \(W(x)=x^3-5x^2-3x+15\) rozłożony na czynniki ma postać
A. \( W(x)=(x-3)(x+3)(x-5) \) B. \( W(x)=(x-5)(x+5)(x^2-3) \)
C. \( W(x)=(x-5)(x-5)(x^2-3) \) D. \( W(x)=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})(x-5) \)

Zadanie 10. (1 pkt)

W loterii liczbowej wylosowano dziesięć liczb: \(4, 3, 3, 3, 4, 6, 1, 5, 1, 6\). Mediana tych danych jest równa:
A. \( 5 \) B. \( 3{,}6 \) C. \( 3{,}5 \) D. \( 3 \)

Zadanie 11. (1 pkt)

Punkt \(S\) jest środkiem koła. Zatem miara kąta \(\alpha \) jest równa (patrz na rysunek):
A. \( 70^\circ \) B. \( 220^\circ \) C. \( 140^\circ \) D. \( 250^\circ \)

Zadanie 12. (1 pkt)

Prostymi równoległymi są wykresy funkcji liniowych:
A. \( y=\frac{4}{3}x+5\ \) i \(\ y=-\frac{3}{4}x+5\) B. \( y=\frac{4}{3}x+5\ \) i \(\ y=-\frac{4}{3}x+5\)
C. \( y=\frac{4}{3}x+5\ \) i \(\ y=\frac{3}{4}x-5\) D. \( y=\frac{4}{3}x+5\ \) i \(\ y=\frac{4}{3}x-5\)

Zadanie 13. (1 pkt)

Liczba jest równa:
A. 2log2
B. log24
C. 2
D. 8log2

Zadanie 14. (1 pkt)

Dziedziną funkcji \(f(x)=\frac{x^2-16}{(x-2)(x+4)}\) jest zbiór:
A. \( \mathbb{R} \backslash \{ -2,4 \} \) B. \( \mathbb{R} \backslash \{ 2,-4 \} \) C. \( \mathbb{R} \backslash \{ -4,4 \} \) D. \( \mathbb{R} \backslash \{ 2 \} \)

Zadanie 15. (1 pkt)

Zbiór rozwiązań nierówności \(|x-3|\le 2\) przedstawiony jest na rysunku:

Zadanie 16. (1 pkt)

Rozwiązaniami równania \(\frac{(x^2-4)(x-3)}{(x-2)(x+3)}=0\) są liczby:
A. \( -3;\ -2;\ 2;\ 3 \) B. \( 2;\ 3 \) C. \( -3;\ 2 \) D. \( -2;\ 3 \)

Zadanie 17. (1 pkt)

Kąt \(\alpha \) nachylenia ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny podstawy zaznaczony jest na rysunku:

Zadanie 18. (1 pkt)

Do wykresu funkcji liniowej \(f\) należą punkty \(A = (4, -3)\) i \(B = (-1, -13)\). Funkcja \(f\) opisana jest wzorem:
A. \( f(x)=2x-11 \) B. \( f(x)=2x+11 \) C. \( f(x)=\frac{1}{2}x+1 \) D. \( f(x)=\frac{1}{2}x-5 \)

Zadanie 19. (1 pkt)

Ciągiem arytmetycznym jest ciąg o wyrazie ogólnym \(a_n\) równym:
A. \( a_n=3\cdot 2^n \) B. \( a_n=\frac{4n^2-9}{3+2n} \) C. \( a_n=\frac{2n+3}{n+2} \) D. \( a_n=\frac{n^2+1}{3} \)

Zadanie 20. (1 pkt)

Wartość wyrażenia \(\sin^{2} 23^\circ +\sin^{2} 67^\circ \) jest równa:
A. \( 2\sin^{2} 23^\circ \) B. \( 2\sin^{2} 67^\circ \) C. \( 1 \) D. \( 0 \)

Zadanie 21. (1 pkt)

Wszystkich liczb trzycyfrowych parzystych, których cyfra jedności należy do zbioru \(A=\{2, 4, 5, 7\}\), cyfra dziesiątek do zbioru \(B = \{6, 7, 8\}\), a cyfra setek do zbioru \(C = \{2, 4, 5, 6\}\) jest:
A. \( 48 \) B. \( 36 \) C. \( 24 \) D. \( 12 \)

Zadanie 22. (1 pkt)

Wykres funkcji \(f(x)=2^{x-3}\) przedstawiony jest na rysunku:

Zadanie 23. (1 pkt)

Dany jest okrąg o równaniu \((x+3)^2+(y-4)^2=25\). Środkiem \(S\) tego okręgu jest punkt:
A. \( S=(-3,-4) \) B. \( S=(3,4) \) C. \( S=(3,-4) \) D. \( S=(-3,4) \)

Zadanie 24. (1 pkt)

W trapezie miary kątów ostrych są równe \(30^\circ \) i \(60^\circ \). Wówczas stosunek długości krótszego ramienia do dłuższego jest równy:
A. \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) B. \( \frac{1}{3} \) C. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) D. \( \frac{1}{2} \)

Zadanie 25. (1 pkt)

Największa wartość funkcji \(y=-2x^2+x+1\) w przedziale \(\langle -1;\ 0{,}5 \rangle\) jest równa:
A. \( 1\frac{1}{8} \) B. \( 1 \) C. \( \frac{1}{4} \) D. \( -4 \)

Zadanie 26. (2 pkt)

Rozwiąż nierówność: \(-x^2+2x+8\ge 0\).

Zadanie 27. (2 pkt)

Na boku \(DC\) kwadratu \(ABCD\) obrano punkt \(K\) tak, że \(|DK| = |KC|\) (rys.). Przekątna \(AC\) kwadratu przecina odcinek \(BK\) w punkcie \(P\). Uzasadnij, że pole trójkąta \(ABP\) jest czterokrotnie większe niż pole trójkąta \(KCP\).

Zadanie 28. (2 pkt)

Oblicz pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego wiedząc, że trzeci wyraz jest równy \(18\), a szósty \(486\).

Zadanie 29. (2 pkt)

Wykaż, że liczby \(a=\frac{-5}{2\sqrt{2}+3}\) oraz \(b=|10\sqrt{2}-15|\) są liczbami przeciwnymi.

Zadanie 30. (2 pkt)

W trójkącie równoramiennym \(ABC\) o podstawie \(AB\) poprowadzono wysokość z wierzchołka \(C\). Wyznacz równanie prostej zawierającej tę wysokość, jeśli \(A = (2, 8)\), \(B = (-2, 4)\).

Zadanie 31. (2 pkt)

Ze zbioru liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) losujemy kolejno trzy razy po jednej liczbie bez zwracania tworząc liczbę trzycyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) – otrzymana liczba jest mniejsza od \(432\).

Zadanie 32. (4 pkt)

Z miast \(A\) i \(B\) odległych o \(330 \) km wyjechały naprzeciwko siebie dwa samochody. Samochód jadący z miasta \(A\) wyjechał \(20\) minut wcześniej i jechał z prędkością o \(9\) km/h mniejszą niż samochód jadący z miasta \(B\). Samochody te minęły się w odległości \(168\) km licząc od miasta \(A\). Oblicz średnią prędkość każdego z samochodów.

Zadanie 33. (4 pkt)

Oblicz pole i obwód rombu \(ABCD\) wiedząc, że przekątna \(AC\) jest zawarta w prostej o równaniu \(y=2x-2\) oraz \(A=(-1,-4)\) i \(D=(-6,6)\).

Zadanie 34. (5 pkt)

Metalowy stożek, którego tworząca o długości \(10\) jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ \), przetopiono na sześć jednakowych kulek. Oblicz promień kulki.