Rachunek prawdopodobieństwa

Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia pewnego określonego zdarzenia.
Przykład .
Jaka jest szansa, że dzisiaj jest niedziela?
Rozwiązanie:
Mamy \(7\) możliwości (bo jest \(7\) dni tygodnia).
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dzisiaj jest niedziela, wynosi: \(\frac{1}{7}\).
Rachunek prawdopodobieństwa bazuje na kombinatoryce.
Żeby obliczyć szansę dowolnego zdarzenia (nazwijmy go literką \(A\)), musimy określić liczbę zdarzeń sprzyjających oraz liczbę wszystkich możliwych zdarzeń (do tego celu stosujemy kombinatorykę). Następnie do obliczenia prawdopodobieństwa korzystamy z jednego wzoru: \[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}\] gdzie:
\(|A|\) - to liczba zdarzeń sprzyjających (moc zbioru \(|A|\))
\(|\Omega |\) - to liczba wszystkich możliwych zdarzeń (moc zbioru \(|\Omega |\))
Pojęcia stosowane w rachunku prawdopodobieństwa:
  • Doświadczenie losowe - czynność którą wykonujemy, np.: rzut kostką, wybór dnia tygodnia.
  • Zdarzenie elementarne - zdarzenie (tylko jedno!) jakie może wydarzyć się w doświadczeniu losowym, np.: wypadło \(5\) oczek, wybrano środę.
  • Zdarzenie losowe - zbiór jednego lub kilku zdarzeń elementarnych, np.: wypadła parzysta liczba oczek (\(2\), \(4\), lub \(6\)), wybrano dzień powszedni.
  • Moc zbioru - liczba elementów danego zbioru, np.: \(|\{2, 4, 6\}| = 3\), \(|\{\text{dni powszednie}\}| = 5\).
Stosowane oznaczenia:
  • \(\Omega \) - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych doświadczenia losowego, np.: dla rzutu kostką \(\Omega =\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\).
  • \(A\) - zdarzenie losowe (podzbiór \(\Omega \)), np.: jeżeli \(A\) to zdarzenie polegające na tym, że wypadła parzysta liczba oczek, to: \(A=\{2, 4, 6\}\).
Przykład .
Oblicz prawdopodobieństwo, że w rzucie kostką wypadnie liczba oczek mniejsza od \(5\).
Rozwiązanie:
Zdarzeniem losowym w tym zadaniu jest rzut kostką.
Wprowadźmy następujące oznaczenia:
\(\Omega \) - to zbiór wszystkich możliwych wyników. Zatem \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\).
\(A\) - to zbiór tych wyników, w których wypadła liczba oczek mniejsza od \(5\). Zatem \(A = \{1, 2, 3, 4\}\).
Obliczamy moc zbioru \(A\) oraz zbioru \(\Omega \):
\(|\Omega | = 6\) (bo tyle jest wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych, czyli wyników rzutu kostką)
\(|A| = 4\) (bo w skład zbioru \(A\) wchodzą \(4\) zdarzenia elementarne)
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest następujące: \[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\]

Klasyczny rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka

W tym nagraniu wideo omawiam najbardziej praktyczne metody rozwiązywania zadań z kombinatoryki oraz klasycznego rachunku prawdopodobieństwa.