Matura 2013 czerwiec

Arkusz z zadaniami

Zadanie . (1 pkt)

Liczba \(\left (\sqrt[3]{16}\cdot 4^{-2} \right)^3\) jest równa
\( 4^4 \)
\( 4^{-4} \)
\( 4^{-8} \)
\( 4^{-12} \)
Reklamy

Zadanie . (1 pkt)

Dodatnia liczba \(x\) stanowi \(70\%\) liczby \(y\). Wówczas
\( y=\frac{13}{10}x \)
\( y=\frac{7}{10}x \)
\( y=\frac{10}{7}x \)
\( y=\frac{10}{13}x \)

Zadanie . (1 pkt)

Przedział \(\langle -1,3 \rangle\) jest opisany nierównością
\( |x+1|\ge 2 \)
\( |x+1|\le 2 \)
\( |x-1|\le 2 \)
\( |x-1|\ge 2 \)

Zadanie . (1 pkt)

Wartość wyrażenia \(\log_2{20}-\log_2{5}\) jest równa
\( \log_2{15} \)
\( 2 \)
\( 4 \)
\( \log_2{25} \)

Zadanie . (1 pkt)

Liczba \((-3)\) jest miejscem zerowym funkcji \(f(x)=(2m-1)x+9\). Wtedy
\( m=-2 \)
\( m=0 \)
\( m=2 \)
\( m=3 \)
Reklama

Zadanie . (1 pkt)

Dla każdego kąta ostrego \(\alpha \) wyrażenie \(\sin^{2} \alpha +\sin^{2} \alpha \cdot \cos^{2}\alpha + \cos^{4}\alpha\) jest równe
\( 2\sin^{2} \alpha \)
\( 2\cos^{2}\alpha \)
\( 1 \)
\( 2 \)

Zadanie . (1 pkt)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{1}{3}\). Wartość wyrażenia \(1+\operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha \) jest równa
\( \frac{4}{3} \)
\( \frac{11}{9} \)
\( \frac{17}{9} \)
\( \frac{11}{3} \)

Zadanie . (1 pkt)

Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział
\( \langle -3,5 \rangle \)
\( \langle -6,7 \rangle \)
\( \langle 0,6 \rangle \)
\( \langle -5,8 \rangle \)

Zadanie . (1 pkt)

Przedziałem, w którym funkcja \(f\) przyjmuje tylko wartości ujemne, jest
\( \langle 5,0 \rangle \)
\( ( 5,7 \rangle \)
\( \langle 0,7 \rangle \)
\( \langle -6,5 \rangle \)

Zadanie . (1 pkt)

Funkcja \(g\) jest określona wzorem
\( g(x)=f(x-1) \)
\( g(x)=f(x)-1 \)
\( g(x)=f(x+1) \)
\( g(x)=f(x)+1 \)

Zadanie . (1 pkt)

Punkt \(O\) jest środkiem okręgu. Kąt \(\alpha\), zaznaczony na rysunku, ma miarę

Zadanie . (1 pkt)

Iloczyn wielomianów \(2x-3\) oraz \(-4x^2-6x-9\) jest równy
\( -8x^3+27 \)
\( -8x^3-27 \)
\( 8x^3+27 \)
\( 8x^3-27 \)

Zadanie . (1 pkt)

Prostokąt \(ABCD\) o przekątnej długości \(2\sqrt{13}\) jest podobny do prostokąta o bokach długości \(2\) i \(3\). Obwód prostokąta \(ABCD\) jest równy
\( 10 \)
\( 20 \)
\( 5 \)
\( 24 \)

Zadanie . (1 pkt)

Kosinus kąta ostrego rombu jest równy \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), bok rombu ma długość \(3\). Pole tego rombu jest równe
\( \frac{9}{2} \)
\( \frac{9\sqrt{3}}{4} \)
\( \frac{9\sqrt{3}}{2} \)
\( 6 \)

Zadanie . (1 pkt)

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \(12\). Suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu jest równa
\( 12\sqrt{2} \)
\( 8\sqrt{2} \)
\( 6\sqrt{2} \)
\( 3\sqrt{2} \)

Zadanie . (1 pkt)

Ciąg \(\left ( {a}_{n} \right )\) określony jest wzorem \({a}_{n}=-2+\frac{12}{n}\) dla \(n \ge 1 \). Równość \( {a}_{n}=4 \) zachodzi dla
\( n=2 \)
\( n=3 \)
\( n=4 \)
\( n=5 \)

Zadanie . (1 pkt)

Funkcja \(f(x)=3x(x^2+5)(2-x)(x+1)\) ma dokładnie
dwa miejsca zerowe.
trzy miejsca zerowe.
cztery miejsca zerowe.
pięć miejsc zerowych.

Zadanie . (1 pkt)

Wskaż równanie prostej, której fragment przedstawiony jest na poniższym wykresie
\( x-2y-4=0 \)
\( x+2y+4=0 \)
\( x-2y+4=0 \)
\( x+2y-4=0 \)

Zadanie . (1 pkt)

Przyprostokątne w trójkącie prostokątnym mają długości \(1\) oraz \(\sqrt{3}\). Najmniejszy kąt w tym trójkącie ma miarę
\( 60^\circ \)
\( 30^\circ \)
\( 45^\circ \)
\( 15^\circ \)

Zadanie . (1 pkt)

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) w którym różnica \(r=-2\) oraz \(a_{20 }=17\). Wówczas pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
\( 45 \)
\( 50 \)
\( 55 \)
\( 60 \)

Zadanie . (1 pkt)

W ciągu geometrycznym \((a_n)\) pierwszy wyraz jest równy \(\frac{9}{8}\), a czwarty wyraz jest równy \(\frac{1}{3}\). Wówczas iloraz \(q\) tego ciągu jest równy
\( q=\frac{1}{3} \)
\( q=\frac{1}{2} \)
\( q=\frac{2}{3} \)
\( q=\frac{3}{2} \)

Zadanie . (1 pkt)

Wyniki sprawdzianu z matematyki są przedstawione na poniższym diagramie. Średnia ocen uzyskanych przez uczniów z tego sprawdzianu jest równa
\( 2 \)
\( 3 \)
\( 3{,}5 \)
\( 4 \)

Zadanie . (1 pkt)

Objętość stożka o wysokości \(h\) i promieniu podstawy trzy razy mniejszym od wysokości jest równa
\( \frac{1}{9}\pi h^2 \)
\( \frac{1}{27}\pi h^2 \)
\( \frac{1}{9}\pi h^3 \)
\( \frac{1}{27}\pi h^3 \)

Zadanie . (1 pkt)

Rzucamy trzykrotnie symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo, że w trzecim rzucie wypadnie orzeł jest równe
\( \frac{1}{4} \)
\( \frac{3}{8} \)
\( \frac{1}{2} \)
\( \frac{3}{4} \)

Zadanie . (1 pkt)

Dana jest prosta \(l\) o równaniu \(y=-\frac{2}{5}x\). Prosta \(k\) równoległa do prostej \(l\) i przecinająca oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych \((0,3)\) ma równanie
\( y=-0{,}4x+3 \)
\( y=-0{,}4x-3 \)
\( y=2{,}5x+3 \)
\( y=2{,}5x-3 \)

Zadanie . (1 pkt)

Liczba \(\log4+\log5-\log2\) jest równa
\( 10 \)
\( 2 \)
\( 1 \)
\( 0 \)

Zadanie . (2 pkt)

Rozwiąż równanie \(3x^3-4x^2-3x+4=0\).

Zadanie . (2 pkt)

Kąt \(α\) jest ostry i \(\cos\alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}\). Oblicz wartość wyrażenia \(2+\sin^3\!\alpha +\sin\alpha \cdot \cos^2\!\alpha\).

Zadanie . (2 pkt)

Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności jest o \(3\) większa od cyfry setek.

Zadanie . (2 pkt)

Wykaż, że liczba \((1+2013^2)(1+2013^4)\) jest dzielnikiem liczby:
\(1+2013+2013^2+2013^3+2013^4+2013^5+2013^6+2013^7\).

Zadanie . (2 pkt)

Nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=7\cdot 3^{n+1}\), dla \(n\ge 1\). Oblicz iloraz \(q\) tego ciągu.

Zadanie . (4 pkt)

Podstawą graniastosłupa \(ABCDEFGH\) jest prostokąt \(ABCD\) (zobacz rysunek), którego krótszy bok ma długość \(3\). Przekątna prostokąta \(ABCD\) tworzy z jego dłuższym bokiem kąt \(30^\circ\). Przekątna \(HB\) graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt \(60^\circ\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Zadanie . (5 pkt)

Grupa znajomych wykupiła wspólnie dostęp do Internetu na okres jednego roku. Opłata miesięczna wynosiła \(120\) złotych. Podzielono tę kwotę na równe części, by każdy ze znajomych płacił tyle samo. Po upływie miesiąca do grupy dołączyły jeszcze dwie osoby i wówczas opłata miesięczna przypadająca na każdego użytkownika zmniejszyła się o \(5\) złotych. Ile osób liczyła ta grupa w pierwszym miesiącu użytkowania Internetu?

Zadanie . (5 pkt)

Wierzchołki trapezu \(ABCD\) mają współrzędne: \(A=(-1,-5)\), \(B=(5, 1)\), \(C=(1, 3)\), \(D=(-2, 0)\). Napisz równanie okręgu, który jest styczny do podstawy \(AB\) tego trapezu, a jego środek jest punktem przecięcia się prostych zawierających ramiona \(AD\) oraz \(BC\) trapezu \(ABCD\).