Definicja
Dwumianem Newtona nazywamy wzór: \[(x+y)^n=\binom{n}{0}x^ny^0+\binom{n}{1}x^{n-1}y^1+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+...+\binom{n}{n-1}x^1y^{n-1}+\binom{n}{n}x^0y^n \] gdzie \(\binom{n}{k} \) - to symbol Newtona (współczynnik dwumianowy) i jest obliczany ze wzoru: \[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!} \] Każdy jednomian w powyższym wzorze ma sumę wykładników równą \(n\).
Przykładowo jednomian \(\binom{n}{2}x^{n-2}y^2\): mamy sumę wykładników potęg równą: \[(n-2)+2=n\]
Jeżeli \(x\ne 0\) i \(y\ne 0\), to \(x^0=1\) oraz \(y^0=1\). Wtedy możemy zapisać wzór dwumianowy prościej: \[(x+y)^n=\binom{n}{0}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}y+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+...+\binom{n}{n-1}xy^{n-1}+\binom{n}{n}y^n \]
Ze wzoru dwumianowego można wyprowadzać wzory skróconego mnożenia.
\[ \begin{split} (x+y)^2&=\binom{2}{0}x^2+\binom{2}{1}xy+\binom{2}{2}y^2=\\[6pt] &=\frac{2!}{0!\cdot (2-0)!}x^2+\frac{2!}{1!\cdot (2-1)!}xy + \frac{2!}{2!\cdot (2-2)!}y^2=\\[6pt] &=\frac{2}{2}x^2+\frac{2}{1}xy+\frac{2}{2}y^2=\\[6pt] &=x^2+2xy+y^2 \end{split} \]
Rachunek w powyższym przykładzie może wyglądać na skomplikowany, ale w istocie taki nie jest. Gdy umiemy sprawnie liczyć symbole Newtona \(\binom{n}{k} \), to taki rachunek możemy wykonać dużo szybciej:
\[ \begin{split} (x+y)^3&=\binom{3}{0}x^3+\binom{3}{1}x^2y+\binom{3}{2}xy^2+\binom{3}{3}y^3 =\\[6pt] &=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 \end{split} \]
Wzór tak samo działa jeśli zamiast literek występują liczby:
Rozpisz wyrażenie \((x+7)^3\) stosując dwumian Newtona.
\[ \begin{split} (x+7)^3 &=\binom{3}{0}x^3\cdot 7^0+\binom{3}{1}x^2\cdot 7^1+\binom{3}{2}x^1\cdot 7^2+\binom{3}{3}x^0\cdot7^3=\\[6pt] &=x^3+3x^2\cdot 7+3x\cdot 49+7^3=\\[6pt] &=x^3+21x^2+147x+343 \end{split} \]
Rozpisz wyrażenie \((x-11)^{10}\) stosując dwumian Newtona.
\[ \begin{split} &(x-11)^{10} =(x+(-11))^{10} =\\[6pt] &=\binom{10}{0}x^{10}\cdot (-11)^0+ \binom{10}{1}x^9\cdot (-11)^1+ \binom{10}{2}x^8\cdot (-11)^2+ \binom{10}{3}x^7\cdot (-11)^3+ \binom{10}{4}x^6\cdot (-11)^4+ \binom{10}{5}x^5\cdot (-11)^5+\\[6pt] &+\binom{10}{6}x^4\cdot (-11)^6+ \binom{10}{7}x^3\cdot (-11)^7+ \binom{10}{8}x^2\cdot (-11)^8+ \binom{10}{9}x^1\cdot 1(-11)1^9+ \binom{10}{10}x^0\cdot (-11)^{10}=\\[6pt] &=x^{10}- 10x^9\cdot 11+ \binom{10}{2}x^8\cdot 11^2- \binom{10}{3}x^7\cdot 11^3+ \binom{10}{4}x^6\cdot 11^4- \binom{10}{5}x^5\cdot 11^5+\\[6pt] &+\binom{10}{6}x^4\cdot 11^6- \binom{10}{7}x^3\cdot 11^7+ \binom{10}{8}x^2\cdot 11^8- 10x\cdot 11^9+ 11^{10} \end{split} \]