Matura 2013 marzec

Arkusz zadań z matury próbnej 5 marca 2013

Zadanie . (1 pkt)

Liczba \(-3^2 - (-2 - 2^{-1})^2\) jest równa
\( -\frac{61}{4} \)
\( -\frac{11}{4} \)
\( \frac{11}{4} \)
\( \frac{61}{4} \)

Zadanie . (1 pkt)

Iloraz \(125^5:5^{11}\) jest równy
\(5^{-6}\)
\(5^{16}\)
\(25^{-6}\)
\(25^2\)
Reklama

Zadanie . (1 pkt)

Wskaż liczbę, która spełnia nierówność \(|3x-4|\le x+1\).
\(-2\)
\(-1\)
\(0\)
\(1\)

Zadanie . (1 pkt)

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) suma trzydziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(1245\) oraz \(a_1=-2\). Wtedy
\(a_{30}=81\)
\(a_{30}=85\)
\(a_{30}=175\)
\(a_{30}=1247\)

Zadanie . (1 pkt)

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy \( \frac{16\sqrt{3}}{3} \). Obwód tego trójkąta jest równy
\(16\)
\(32\)
\(48\)
\(64\)

Zadanie . (1 pkt)

Zbiorem wartości funkcji przedstawionej na rysunku jest przedział
\(\langle -3,6 \rangle\)
\(\langle -1,4 \rangle\)
\((1,3)\)
\((-2,2)\)
Reklama

Zadanie . (1 pkt)

Klasa liczy \( 20\) chłopców i \(12\) dziewcząt. Liczba dziewcząt jest mniejsza od liczby chłopców o
\(25\%\)
\(40\%\)
\(60\%\)
\(67\%\)

Zadanie . (1 pkt)

Liczba \(-2\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=-x^3+2x^2-ax-4\) . Wynika stąd, że
\(a=-6\)
\(a=-2\)
\(a=2\)
\(a=4\)

Zadanie . (1 pkt)

Na okręgu o środku \(S=(-6,1)\) leży punkt \(A=(-2,4)\). Promień tego okręgu jest równy
\(5\)
\(7\)
\(\sqrt{73}\)
\(\sqrt{7}\)

Zadanie . (1 pkt)

W trapezie równoramiennym, który nie jest równoległobokiem, kąty przy ramieniu różnią się o \(50^\circ \). Kąt przy krótszej podstawie tego trapezu jest równy
\(115^\circ \)
\(120^\circ \)
\(125^\circ \)
\(130^\circ \)

Zadanie . (1 pkt)

Ciąg geometryczny \( (a_n) \) jest określony wzorem \(a_n=2^{2n-1}\) dla \(n\ge 1\). Iloraz tego ciągu jest równy
\( \frac{1}{4} \)
\( \frac{1}{2} \)
\(2\)
\(4\)
Reklama

Zadanie . (1 pkt)

Punkt \(A=(0,0)\) jest jednym z wierzchołków rombu \(ABCD\). Bok \(CD\) zawarty jest w prostej o równaniu \(y=0{,}5x+3\). Wskaż równanie prostej zawierającej bok \(AB\) tego rombu
\( y=-\frac{1}{2}x \)
\( y=2x\)
\( y=\frac{1}{2}x \)
\( y=-2x\)

Zadanie . (1 pkt)

Dla \(x\ne -2\) i \(x\ne 2\) wyrażenie \( \frac{2x-1}{x-2}-\frac{1}{x+2} \) jest równe
\( \frac{2x^2+2x-4}{x^2-4} \)
\( \frac{2x-2}{x^2-4} \)
\( \frac{x-1}{x} \)
\( \frac{2x^2+2x}{x^2-4} \)

Zadanie . (1 pkt)

Funkcja kwadratowa \(f(x)=-2(x-5)(x+1)\) jest malejąca w zbiorze
\((-1,5)\)
\( ( -\infty ,2 \rangle \)
\(\langle 2,+\infty )\)
\((-\infty ,-1)\cup (5,+\infty )\)

Zadanie . (1 pkt)

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(6\), a kąt nachylenia jego przekątnej do płaszczyzny podstawy jest równy \(60^\circ \). Długość tej przekątnej jest równa
\(3\)
\(\sqrt{3}\)
\(2\sqrt{3}\)
\(4\sqrt{3}\)

Zadanie . (1 pkt)

W pięciu kolejnych rzutach kostką do gry otrzymano następujące wyniki: \(6, 3, 5, 5, 6\). Odchylenie standardowe tych wyników jest równe
\( \frac{\sqrt{6}}{5} \)
\( \frac{\sqrt{30}}{5} \)
\( \frac{6}{5} \)
\(5\)

Zadanie . (1 pkt)

Wszystkich dodatnich liczb całkowitych czterocyfrowych mniejszych od \(4000\), zapisanych za pomocą cyfr: \(3, 5, 7, 9\) tak, że żadna cyfra się nie powtarza, jest
\( 6 \)
\( 24 \)
\( 64 \)
\( 256 \)

Zadanie . (1 pkt)

Liczba \(2-2\log_{2}3\) jest równa
\( 0 \)
\( \log_{2}\frac{2}{9} \)
\( \log_{2}\frac{4}{9} \)
\( \log_{2}\frac{2}{3} \)

Zadanie . (1 pkt)

Punkt \(S\) jest środkiem wysokości \(CD\) trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|=5\) oraz \(|CD|=4\) (zobacz rysunek). Odległość punktu \(S\) od ramienia tego trójkąta jest równa
\( \frac{6}{5} \)
\( \frac{3}{2} \)
\( \frac{12}{5} \)
\( \frac{5}{2} \)

Zadanie . (1 pkt)

Pole powierzchni bocznej walca, którego podstawa ma średnicę \(4\) jest równe \(8\pi \). Wysokość tego walca jest równa
\( 8 \)
\( 4 \)
\( 2 \)
\( \frac{1}{2} \)

Zadanie . (2 pkt)

Rozwiąż nierówność \(-2x^2 + 0{,}5x \ge 0\).

Zadanie . (2 pkt)

Punkty \(A = (-3, 4)\) i \(C = (1,3)\) są wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną \(BD\) tego kwadratu.

Zadanie . (2 pkt)

Kąty ostre \(\alpha \) i \(\beta \) trójkąta prostokątnego spełniają warunek \(\sin^{2} \alpha +\sin^{2}\beta +\operatorname{tg}^{2}\alpha =4\) . Wyznacz miarę kąta \(\alpha \).

Zadanie . (2 pkt)

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) prawdziwa jest nierówność \[x^2+xy+y^2\ge 2x+2y-4\]

Zadanie . (2 pkt)

Rozwiąż równanie \(2x^3+3x^2+4x+6=0\) .

Zadanie . (2 pkt)

Na odcinku \(AB\) wybrano punkt \(C\), a następnie zbudowano trójkąty równoboczne \(ACD\) i \(CBE\) tak, że wierzchołki \(D\) i \(E\) leżą po tej samej stronie prostej \(AB\). Okręgi opisane na tych trójkątach przecinają się w punktach \(C\) i \(P\) (zobacz rysunek). Udowodnij, że miara kąta \(APB\) jest równa \(120^\circ \).

Zadanie . (4 pkt)

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy \(2\sqrt{5}\). Jedna z przyprostokątnych tego trójkąta jest o \(4\) dłuższa od drugiej przyprostokątnej. Oblicz wysokość tego trójkąta opuszczoną na przeciwprostokątną.

Zadanie . (4 pkt)

W pojemniku jest osiem kul ponumerowanych od \(1\) do \(8\), przy czym kule z numerami, których reszta z dzielenia przez \(3\) jest równa \(1\) są białe, a pozostałe kule są czarne. Losujemy z pojemnika jednocześnie dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kule różnych kolorów, których iloczyn numerów będzie większy od \(6\) i nie większy od \(35\).

Zadanie . (5 pkt)

Do zbiornika można doprowadzić wodę dwiema rurami. Czas napełniania zbiornika tylko pierwszą rurą jest o \(5\) godzin i \(30\) minut krótszy od czasu napełniania tego zbiornika tylko drugą rurą, natomiast \(15\) godzin trwa napełnienie tego zbiornika obiema rurami jednocześnie. Oblicz, w ciągu ilu godzin pusty zbiornik zostanie napełniony, jeśli woda będzie doprowadzana tylko pierwszą rurą.

Zadanie . (5 pkt)

Piramida Cheopsa ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Każda ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem \(52^\circ \), a pole powierzchni ściany bocznej jest równe \(21\ 550 \) m2. Oblicz objętość piramidy. Wynik zapisz w postaci \(a\cdot 10k\), gdzie \(1\le a\lt 10\) i \(k\) jest liczbą całkowitą.