Matura 2013 marzec

Zadanie 1. (1 pkt)

Liczba \(-3^2 - (-2 - 2^{-1})^2\) jest równa
\( -\frac{61}{4} \)
\( -\frac{11}{4} \)
\( \frac{11}{4} \)
\( \frac{61}{4} \)

Zadanie 2. (1 pkt)

Iloraz \(125^5:5^{11}\) jest równy
\(5^{-6}\)
\(5^{16}\)
\(25^{-6}\)
\(25^2\)

Zadanie 3. (1 pkt)

Wskaż liczbę, która spełnia nierówność \(|3x-4|\le x+1\).
\(-2\)
\(-1\)
\(0\)
\(1\)

Zadanie 4. (1 pkt)

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) suma trzydziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(1245\) oraz \(a_1=-2\). Wtedy
\(a_{30}=81\)
\(a_{30}=85\)
\(a_{30}=175\)
\(a_{30}=1247\)

Zadanie 5. (1 pkt)

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy \( \frac{16\sqrt{3}}{3} \). Obwód tego trójkąta jest równy
\(16\)
\(32\)
\(48\)
\(64\)

Zadanie 6. (1 pkt)

Zbiorem wartości funkcji przedstawionej na rysunku jest przedział
\(\langle -3,6 \rangle\)
\(\langle -1,4 \rangle\)
\((1,3)\)
\((-2,2)\)

Zadanie 7. (1 pkt)

Klasa liczy \( 20\) chłopców i \(12\) dziewcząt. Liczba dziewcząt jest mniejsza od liczby chłopców o
\(25\%\)
\(40\%\)
\(60\%\)
\(67\%\)

Zadanie 8. (1 pkt)

Liczba \(-2\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=-x^3+2x^2-ax-4\) . Wynika stąd, że
\(a=-6\)
\(a=-2\)
\(a=2\)
\(a=4\)

Zadanie 9. (1 pkt)

Na okręgu o środku \(S=(-6,1)\) leży punkt \(A=(-2,4)\). Promień tego okręgu jest równy
\(5\)
\(7\)
\(\sqrt{73}\)
\(\sqrt{7}\)

Zadanie 10. (1 pkt)

W trapezie równoramiennym, który nie jest równoległobokiem, kąty przy ramieniu różnią się o \(50^\circ \). Kąt przy krótszej podstawie tego trapezu jest równy
\(115^\circ \)
\(120^\circ \)
\(125^\circ \)
\(130^\circ \)

Zadanie 11. (1 pkt)

Ciąg geometryczny \( (a_n) \) jest określony wzorem \(a_n=2^{2n-1}\) dla \(n\ge 1\). Iloraz tego ciągu jest równy
\( \frac{1}{4} \)
\( \frac{1}{4} \)
\(2\)
\(4\)

Zadanie 12. (1 pkt)

Punkt \(A=(0,0)\) jest jednym z wierzchołków rombu \(ABCD\). Bok \(CD\) zawarty jest w prostej o równaniu \(y=0{,}5x+3\). Wskaż równanie prostej zawierającej bok \(AB\) tego rombu
\( y=-\frac{1}{2}x \)
\( y=2x\)
\( y=\frac{1}{2}x \)
\( y=-2x\)

Zadanie 13. (1 pkt)

Dla \(x\ne -2\) i \(x\ne 2\) wyrażenie \( \frac{2x-1}{x-2}-\frac{1}{x+2} \) jest równe
\( \frac{2x^2+2x-4}{x^2-4} \)
\( \frac{2x-2}{x^2-4} \)
\( \frac{x-1}{x} \)
\( \frac{2x^2+2x}{x^2-4} \)

Zadanie 14. (1 pkt)

Funkcja kwadratowa \(f(x)=-2(x-5)(x+1)\) jest malejąca w zbiorze
\((-1,5)\)
\( ( -\infty ,2 \rangle \)
\(\langle 2,+\infty )\)
\((-\infty ,-1)\cup (5,+\infty )\)

Zadanie 15. (1 pkt)

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(6\), a kąt nachylenia jego przekątnej do płaszczyzny podstawy jest równy \(60^\circ \). Długość tej przekątnej jest równa
\(3\)
\(\sqrt{3}\)
\(2\sqrt{3}\)
\(4\sqrt{3}\)

Zadanie 16. (1 pkt)

W pięciu kolejnych rzutach kostką do gry otrzymano następujące wyniki: \(6, 3, 5, 5, 6\). Odchylenie standardowe tych wyników jest równe
\( \frac{\sqrt{6}}{5} \)
\( \frac{\sqrt{30}}{5} \)
\( \frac{6}{5} \)
\(5\)

Zadanie 17. (1 pkt)

Wszystkich dodatnich liczb całkowitych czterocyfrowych mniejszych od \(4000\), zapisanych za pomocą cyfr: \(3, 5, 7, 9\) tak, że żadna cyfra się nie powtarza, jest
\( 6 \)
\( 24 \)
\( 64 \)
\( 256 \)

Zadanie 18. (1 pkt)

Liczba \(2-2\log_{2}3\) jest równa
\( 0 \)
\( \log_{2}\frac{2}{9} \)
\( \log_{2}\frac{4}{9} \)
\( \log_{2}\frac{2}{3} \)

Zadanie 19. (1 pkt)

Punkt \(S\) jest środkiem wysokości \(CD\) trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|=5\) oraz \(|CD|=4\) (zobacz rysunek). Odległość punktu \(S\) od ramienia tego trójkąta jest równa
\( \frac{6}{5} \)
\( \frac{3}{2} \)
\( \frac{12}{5} \)
\( \frac{5}{2} \)

Zadanie 20. (1 pkt)

Pole powierzchni bocznej walca, którego podstawa ma średnicę \(4\) jest równe \(8\pi \). Wysokość tego walca jest równa
\( 8 \)
\( 4 \)
\( 2 \)
\( \frac{1}{2} \)

Zadanie 21. (2 pkt)

Rozwiąż nierówność \(-2x^2 + 0{,}5x \ge 0\).

Zadanie 22. (2 pkt)

Punkty \(A = (-3, 4)\) i \(C = (1,3)\) są wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną \(BD\) tego kwadratu.

Zadanie 23. (2 pkt)

Kąty ostre \(\alpha \) i \(\beta \) trójkąta prostokątnego spełniają warunek \(\sin^{2} \alpha +\cos^{2}\beta +\operatorname{tg}^{2}\alpha =4\) . Wyznacz miarę kąta \(\alpha \).

Zadanie 24. (2 pkt)

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) prawdziwa jest nierówność \[x^2+xy+y^2\ge 2x+2y-4\]

Zadanie 25. (2 pkt)

Rozwiąż równanie \(2x^3+3x^2+4x+6=0\) .

Zadanie 26. (2 pkt)

Na odcinku \(AB\) wybrano punkt \(C\), a następnie zbudowano trójkąty równoboczne \(ACD\) i \(CBE\) tak, że wierzchołki \(D\) i \(E\) leżą po tej samej stronie prostej \(AB\). Okręgi opisane na tych trójkątach przecinają się w punktach \(C\) i \(P\) (zobacz rysunek). Udowodnij, że miara kąta \(APB\) jest równa \(120^\circ \).

Zadanie 27. (4 pkt)

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy \(2\sqrt{5}\). Jedna z przyprostokątnych tego trójkąta jest o \(4\) dłuższa od drugiej przyprostokątnej. Oblicz wysokość tego trójkąta opuszczoną na przeciwprostokątną.

Zadanie 28. (4 pkt)

W pojemniku jest osiem kul ponumerowanych od \(1\) do \(8\), przy czym kule z numerami, których reszta z dzielenia przez \(3\) jest równa \(1\) są białe, a pozostałe kule są czarne. Losujemy z pojemnika jednocześnie dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kule różnych kolorów, których iloczyn numerów będzie większy od \(6\) i nie większy od \(35\).

Zadanie 29. (5 pkt)

Do zbiornika można doprowadzić wodę dwiema rurami. Czas napełniania zbiornika tylko pierwszą rurą jest o \(5\) godzin i \(30\) minut krótszy od czasu napełniania tego zbiornika tylko drugą rurą, natomiast \(15\) godzin trwa napełnienie tego zbiornika obiema rurami jednocześnie. Oblicz, w ciągu ilu godzin pusty zbiornik zostanie napełniony, jeśli woda będzie doprowadzana tylko pierwszą rurą.

Zadanie 30. (5 pkt)

Piramida Cheopsa ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Każda ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem \(52^\circ \), a pole powierzchni ściany bocznej jest równe \(21\ 550\ \text{m}^2\). Oblicz objętość piramidy. Wynik zapisz w postaci \(a\cdot 10k\), gdzie \(1\le a\le 10\) i \(k\) jest liczbą całkowitą.