Jesteś tu: Działy tematyczneLiczby zespoloneLiczby sprzężone

Liczby sprzężone

Przyjmijmy, że mamy daną liczbę zespoloną \(z = a + bi\).
Wówczas liczbę \(a - bi\) nazywamy liczbą sprzężoną do \(z\) i oznaczamy symbolem \(\bar{z}\).
Czyli: \[\bar{z}=a-bi\]
Poniżej znajdują się przykłady różnych liczb zespolonych i liczb do nich sprzężonych.
Przykłady:
  • jeżeli \(z = 2 + 7i\), to \(\bar{z} = 2 - 7i\)
  • jeżeli \(z = \sqrt{3} - i\), to \(\bar{z} = \sqrt{3} + i\)
  • jeżeli \(z = 2i\), to \(\bar{z} = -2i\)
  • jeżeli \(z = 5i + 1\), to \(\bar{z} = 1 - 5i\)
Dla liczb sprzężonych zachodzą następujące fakty.
Własności liczb sprzężonych Dla dowolnych \(z, z_1, z_2 \in \mathbb{C}\) mamy:
  • \(z + \overline{z} = 2\operatorname{Re}(z)\)
  • \(\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}\)
  • \(z \cdot \overline{z} = |z|^2\)
W trzecim podpunkcie pojawił się nowy symbol \(|z|\), który oznacza moduł liczby \(z\).
Moduł liczby zespolonej \(z = a + bi\) liczymy ze wzoru: \[|z|=\sqrt{a^2+b^2}\] Dokładniej pojęcie modułu zostanie omówione w następnym rozdziale.