Sposoby na obliczanie sumy szeregu

Najłatwiejsze w sumowaniu są szeregi geometryczne, tzn. szeregi postaci:

Dla |q| < 1 zachodzi wzór:

Dla |q| > 1 szereg geometryczny jest rozbieżny.

Dla innych szeregów dokładne obliczenie sumy jest zazwyczaj zadaniem bardzo trudnym, dlatego przeważnie ograniczamy się jedynie do badania ich zbieżności.

Okazuje się, że czasami można we w miarę prosty sposób obliczyć sumę szeregu liczbowego, przy wykorzystaniu pewnych sprytnych metod. Metody te zostały omówione w rozwiązaniach wideo poniższych zadań.

Wykaż zbieżność oraz oblicz sumę szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)} \).

Wykaż zbieżność oraz oblicz sumę szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \).

Wykaż zbieżność oraz oblicz sumę szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} \).

Oblicz sumę szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty}\ln \left (\frac{n}{n+1}\right )\).

Oblicz sumę szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty}\ln \left (1+\frac{1}{n}\right )\).