Rozważmy funkcję kwadratową daną w postaci iloczynowej: \[f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\] Poniżej pokażemy jak zamienić postać iloczynową na postać ogólną i kanoniczną.
Zamiana postaci iloczynowej na postać ogólną
Aby zamienić wzór funkcji na postać ogólną, to wystarczy wymnożyć nawiasy: \[\begin{split} &f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\\[6pt] &f(x)=a(x^2-x_2x-x_1x+x_1x_2)\\[6pt] &f(x)=ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2 \end{split}\] Z powyższego rachunku wynikają wzory na współczynniki liczbowe \(b\) i \(c\): \[\begin{split} &b=-a(x_1+x_2)\\[6pt] &c=ax_1x_2 \end{split}\] Gdy znamy już współczynniki liczbowe \(a\), \(b\) i \(c\), to możemy zapisać wzór funkcji w postaci ogólnej: \[f(x)=ax^2+bx+c\] Zamiana postaci iloczynowej na postać kanoniczną
I Sposób Mając daną funkcję kwadratową w postaci iloczynowej: \[f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\] znamy od razu jej miejsca zerowe: \(x_1\) oraz \(x_2\).
Do zapisania postaci kanonicznej potrzebujemy znać współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p,q)\).
Współrzędna \(x\)-owa wierzchołka leży dokładnie pomiędzy miejscami zerowymi, czyli możemy ją obliczyć tak: \[p=\frac{x_1+x_2}{2}\] Współrzędną \(y\)-ową wierzchołka można wyznaczyć licząc wartość funkcji dla argumentu \(p\): \[q=f(p)=a(p-x_1)(p-x_2)\]
Po wyliczeniu \(p\) i \(q\) zapisujemy wzór funkcji w postaci kanonicznej: \[f(x)=a(x-p)^2+q\]
II Sposób Przekształcamy najpierw postać iloczynową na postać ogólną: \[f(x)=ax^2+bx+c\] Następnie z postaci ogólnej wyliczamy współczynniki \(p\) i \(q\) korzystając ze wzorów: \[\begin{split}p&=\frac{-b}{2a}\\[6pt]q&=\frac{-\Delta }{4a}\end{split}\]
Przekształć wzór funkcji \(f(x) = 2(x + 3)(x - 4)\) na postać ogólną i kanoniczną.
Zaczynamy od wyznaczenia postaci ogólnej. W tym celu wymnażamy nawiasy: \[\begin{split} f(x) &= 2(x + 3)(x - 4)\\[6pt] f(x) &= (2x + 6)(x - 4)\\[6pt] f(x) &= 2x^2 - 8x + 6x - 24\\[6pt] f(x) &= 2x^2 - 2x - 24 \end{split}\] Czyli postać ogólna jest następująca: \[f(x) = 2x^2 - 2x - 24\] Teraz wyznaczymy postać kanoniczną. Musimy w tym celu wyliczyć współczynniki \(p\) i \(q\).
Wypiszmy na początku współczynniki liczbowe \(a\), \(b\) i \(c\) wyznaczonej przed chwilą postaci ogólnej: \[\begin{split} &a = 2\\[6pt] &b = -2\\[6pt] &c = -24\\[6pt] \end{split}\] Obliczymy jeszcze deltę: \[\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4\cdot 2\cdot (-24) = 4 + 192 = 196\] Teraz obliczamy współczynniki \(p\) i \(q\) ze znanych wzorów: \[\begin{split} p&=\frac{-b}{2a}=\frac{2}{2\cdot 2}=\frac{1}{2}\\[6pt] q&=\frac{-\Delta }{4a}=\frac{-196}{4\cdot 2}=-\frac{49}{2} \end{split}\] Wyliczone wartości podstawiamy do wzoru na postać kanoniczną: \[\begin{split} f(x)&=a(x-p)^2+q\\[6pt] f(x)&=2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{49}{2}\\[6pt] \end{split}\] Zatem ostatecznie postać kanoniczna funkcji kwadratowej jest następująca:
\[f(x)=2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{49}{2}\]
Wyznacz postać kanoniczną funkcji kwadratowej: \(f(x)=(x-6)(x+2)\).
Z postaci iloczynowej odczytujemy miejsca zerowe funkcji kwadratowej: \[x_1=6 \ \lor \ x_2=-2\] Wyznaczamy współrzędną \(x\)-ową wierzchołka \(W=(p,q)\) jako średnią arytmetyczną miejsc zerowych: \[p=\frac{6+(-2)}{2}=\frac{4}{2}=2\] Teraz wyznaczamy współrzędną \(q\) licząc wartość funkcji \(f(p)\): \[q=f(p)=f(2)=(2-6)(2+2)=-4\cdot 4=-16\] Zatem mamy: \[W=(2,-16)\] Zatem postać kanoniczna \(f(x)=a(x-p)^2+q\) jest postaci: \[f(x)=(x-2)^2-16\]