Matura 2012 czerwiec

Arkusz zadań z matury 6 czerwca 2012

Zadanie . (1 pkt)

Ułamek \(\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}\) jest równy
\( 1 \)
\( -1 \)
\( 7+4\sqrt{5} \)
\( 9+4\sqrt{5} \)

Zadanie . (1 pkt)

Liczbami spełniającymi równanie \(|2x + 3| = 5\)
\( 1 \) i \(-4\)
\( 1 \) i \(2\)
\( -1 \) i \(4\)
\( -2 \) i \(2\)

Zadanie . (1 pkt)

Równanie \((x+5)(x-3)(x^2+1)=0\) ma:
dwa rozwiązania: \( x=-5, x=3 \)
dwa rozwiązania: \( x=-3, x=5 \)
cztery rozwiązania: \( x=-5, x=-1, x=1, x=3 \)
cztery rozwiązania: \( x=-3, x=-1, x=1, x=5 \)

Zadanie . (1 pkt)

Marża równa \(1{,}5\%\) kwoty pożyczonego kapitału była równa \(3000\) zł. Wynika stąd, że pożyczono
\( 45 \) zł
\( 2000 \) zł
\( 200\ 000 \) zł
\( 450\ 000 \) zł

Zadanie . (1 pkt)

Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji \(y=x^2+2x-3\). Wskaż ten rysunek.

Zadanie . (1 pkt)

Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji określonej wzorem \(f(x)=x^2-4x+4\) jest punkt o współrzędnych
\( (0,2) \)
\( (0,-2) \)
\( (-2,0) \)
\( (2,0) \)

Zadanie . (1 pkt)

Jeden kąt trójkąta ma miarę \(54^\circ\). Z pozostałych dwóch kątów tego trójkąta jeden jest \(6\) razy większy od drugiego. Miary pozostałych kątów są równe
\( 21^\circ \) i \(105^\circ \)
\( 11^\circ \) i \(66^\circ \)
\( 18^\circ \) i \(108^\circ \)
\( 16^\circ \) i \(96^\circ \)

Zadanie . (1 pkt)

Krótszy bok prostokąta ma długość \(6\). Kąt między przekątną prostokąta i dłuższym bokiem ma miarę \(30^\circ\). Dłuższy bok prostokąta ma długość
\( 2\sqrt{3} \)
\( 4\sqrt{3} \)
\( 6\sqrt{3} \)
\( 12 \)

Zadanie . (1 pkt)

Cięciwa okręgu ma długość \(8\) cm i jest oddalona od jego środka o \(3\) cm. Promień tego okręgu ma długość
\( 3 \) cm
\( 4 \) cm
\( 5 \) cm
\( 8 \) cm

Zadanie . (1 pkt)

Punkt \(O\) jest środkiem okręgu. Kąt wpisany \(BAD\) ma miarę
\( 150^\circ \)
\( 120^\circ \)
\( 115^\circ \)
\( 85^\circ \)

Zadanie . (1 pkt)

Pięciokąt \(ABCDE\) jest foremny. Wskaż trójkąt przystający do trójkąta \(ECD\)
\( \Delta ABF \)
\( \Delta CAB \)
\( \Delta IHD \)
\( \Delta ABD \)

Zadanie . (1 pkt)

Punkt \(O\) jest środkiem okręgu przedstawionego na rysunku. Równanie tego okręgu ma postać:
\( (x-2)^2+(y-1)^2=9 \)
\( (x-2)^2+(y-1)^2=3 \)
\( (x+2)^2+(y+1)^2=9 \)
\( (x+2)^2+(y+1)^2=3 \)

Zadanie . (1 pkt)

Wyrażenie \(\frac{3x+1}{x-2}-\frac{2x-1}{x+3}\) jest równe
\( \frac{x^2+15x+1}{(x-2)(x+3)} \)
\( \frac{x+2}{(x-2)(x+3)} \)
\( \frac{x}{(x-2)(x+3)} \)
\( \frac{x+2}{-5} \)

Zadanie . (1 pkt)

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\sqrt{2n+4}\) dla \(n\ge 1\). Wówczas
\( a_8=2\sqrt{5} \)
\( a_8=8 \)
\( a_8=5\sqrt{2} \)
\( a_8=\sqrt{12} \)

Zadanie . (1 pkt)

Ciąg \((2\sqrt{2},4,a)\) jest geometryczny. Wówczas
\( a=8\sqrt{2} \)
\( a=4\sqrt{2} \)
\( a=8-2\sqrt{2} \)
\( a=8+2\sqrt{2} \)

Zadanie . (1 pkt)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =1\). Wówczas
\( \alpha \lt 30^\circ \)
\( \alpha =30^\circ \)
\( \alpha =45^\circ \)
\( \alpha >45^\circ \)

Zadanie . (1 pkt)

Wiadomo, że dziedziną funkcji \(f\) określonej wzorem \(f(x)=\frac{x-7}{2x+a}\) jest zbiór \((-\infty ,2)\cup (2,+\infty )\). Wówczas
\( a=2 \)
\( a=-2 \)
\( a=4 \)
\( a=-4 \)

Zadanie . (1 pkt)

Jeden z rysunków przedstawia wykres funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\), gdzie \(a>0\) i \(b\lt 0\). Wskaż ten wykres.

Zadanie . (1 pkt)

Punkt \(S = (2, 7)\) jest środkiem odcinka \(AB\), w którym \(A = (-1, 3)\). Punkt \(B\) ma współrzędne:
\( B=(5,11) \)
\( B=\left (\frac{1}{2},2 \right) \)
\( B=\left (-\frac{3}{2},-5 \right) \)
\( B=(3,11) \)

Zadanie . (1 pkt)

W kolejnych sześciu rzutach kostką otrzymano następujące wyniki: \(6, 3, 1, 2, 5, 5\). Mediana tych wyników jest równa:
\( 3 \)
\( 3{,}5 \)
\( 4 \)
\( 5 \)

Zadanie . (1 pkt)

Równość \((a+2\sqrt{2})^2=a^2+28\sqrt{2}+8\) zachodzi dla
\( a=14 \)
\( a=7\sqrt{2} \)
\( a=7 \)
\( a=2\sqrt{2} \)

Zadanie . (1 pkt)

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(4\) i \(6\) obracamy wokół dłuższej przyprostokątnej. Objętość powstałego stożka jest równa
\( 96\pi \)
\( 48\pi \)
\( 32\pi \)
\( 8\pi \)

Zadanie . (1 pkt)

Jeżeli \(A\) i \(B\) są zdarzeniami losowymi, \(B'\) jest zdarzeniem przeciwnym do \(B\), \(P(A) = 0{,}3\), \(P(B') = 0{,}4\) oraz \(A\cap B=\emptyset \), to \(P(A\cup B)\) jest równe
\( 0{,}12 \)
\( 0{,}18 \)
\( 0{,}6 \)
\( 0{,}9 \)

Zadanie . (1 pkt)

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku \(a\). Jeżeli \(r\) oznacza promień podstawy walca, \(h\) oznacza wysokość walca, to
\( r+h=a \)
\( h-r=\frac{a}{2} \)
\( r-h=\frac{a}{2} \)
\( r^2+h^2=a^2 \)

Zadanie . (2 pkt)

Rozwiąż nierówność \(x^2 - 3x - 10 \lt 0\).

Zadanie . (2 pkt)

Średnia wieku w pewnej grupie studentów jest równa \(23\) lata. Średnia wieku tych studentów i ich opiekuna jest równa \(24\) lata. Opiekun ma \(39\) lat. Oblicz, ilu studentów jest w tej grupie.

Zadanie . (2 pkt)

Podstawy trapezu prostokątnego mają długości \(6\) i \(10\) oraz tangens jego kąta ostrego jest równy \(3\). Oblicz pole tego trapezu.

Zadanie . (2 pkt)

Uzasadnij, że jeżeli \(\alpha\) jest kątem ostrym, to \(\sin^4\alpha + \cos^2\alpha = \sin^2\alpha + \cos^4\alpha\).

Zadanie . (2 pkt)

Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(2\).

Zadanie . (2 pkt)

Suma \(S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n\) początkowych \(n\) wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego \((a_n)\) jest określona wzorem \(S_n = n^2 - 2n\). Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz tego ciągu.

Zadanie . (2 pkt)

Dany jest romb, którego kąt ostry ma miarę \(45^\circ\), a jego pole jest równe \(50\sqrt{2}\). Oblicz wysokość tego rombu.

Zadanie . (4 pkt)

Punkty \(A = (2,11), B = (8, 23), C = (6,14)\) są wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka \(C\) przecina prostą \(AB\) w punkcie \(D\). Oblicz współrzędne punktu \(D\).

Zadanie . (4 pkt)

Oblicz, ile jest liczb naturalnych pięciocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, jest dokładnie jedna cyfra \(7\) i dokładnie jedna cyfra parzysta.

Zadanie . (4 pkt)

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\) o podstawach \(ABC\) i \(DEF\) i krawędziach bocznych \(AD, BE\) i \(CF\) (zobacz rysunek). Długość krawędzi podstawy \(AB\) jest równa \(8\), a pole trójkąta \(ABF\) jest równe \(52\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.