Kombinacja

Kombinacja pozwala policzyć na ile sposobów można wybrać \(k\) elementów z \(n\)-elementowego zbioru.
Wzór na kombinację jest następujący: \[C^k_n=\frac{n!}{k!(n-k)!}\] Kombinację zapisujemy krótko za pomocą Symbolu Newtona: \[\binom{n}{k} =\frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Na ile sposobów można wybrać \(2\) osoby w klasie \(30\) osobowej?

\[\binom{30}{2} =\frac{30!}{2!(30-2)!}=\frac{30!}{2\cdot 28!}=\frac{29\cdot 30}{2}=15\cdot 29=435\] Odpowiedź: Dwie osoby można wybrać w klasie \(30\) osobowej na \(435\) sposobów.

Na ile sposobów można wybrać \(3\) zawodników w drużynie \(12\) osobowej?

\[\binom{12}{3} =\frac{12!}{3!(12-3)!}=\frac{12!}{6\cdot 9!}=\frac{10\cdot 11\cdot 12}{6}=10\cdot 11\cdot 2=220\] Odpowiedź: Trzech zawodników w drużynie \(12\) osobowej można wybrać na \(220\) sposobów.

Na jednej prostej zaznaczono \(3\) punkty, a na drugiej \(4\) punkty. Ile jest wszystkich trójkątów, których wierzchołkami są trzy spośród zaznaczonych punktów?

\(30\)

W pewnym sklepie jest \(12\) chlebów zwykłych i 4 razowe. Na ile sposobów można wybrać \(3\) chleby, gdy jeden z nich ma być razowy?

Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się \(9\) kul: \(4\) białe, \(3\) czarne i \(2\) zielone. W drugim pojemniku jest \(6\) kul: \(2\) białe, \(3\) czarne i \(1\) zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru.

\(\frac{19}{54}\)

\(\frac{35}{54}\)

Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się \(11\) kul: \(7\) białych i \(4\) czarne. W drugim pojemniku jest \(6\) kul: \(3\) białe i \(3\) czarne. Z każdego pojemnika losujemy po dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania czterech kul czarnych.

\(\frac{18}{825}\)

Każdy uczestnik spotkania dwunastoosobowej grupy przyjaciół uścisnął dłoń każdemu z pozostałych członków tej grupy. Liczba wszystkich uścisków dłoni była równa

A.\( 66 \)

B.\( 72 \)

C.\( 132 \)

D.\( 144 \)