Równania kwadratowe

Wprowadzenie do równań kwadratowych

Przed rozpoczęciem nauki o równaniach kwadratowych, warto dobrze opanować rozwiązywanie zwykłych równań liniowych.
W równaniach liniowych niewiadoma \(x\) występuje zawsze w pierwszej potędze.
W przypadku równań kwadratowych niewiadoma \(x\) pojawia się w drugiej potędze, czyli \(x^2\) (czytamy: iks kwadrat).
Przykłady równań kwadratowych:
  • \(2x^2+3x-1=0\)
  • \(x^2-5=0\)
  • \(x^2=\frac{1}{2}\)
  • \(x^2-x=1\)
  • \(1-x^2=2x\)
  • \(x=x^2\)
Rozwiązanie równania kwadratowego polega na wyznaczeniu wszystkich liczb, które spełniają dane równanie (czyli po podstawieniu pod \(x\)-a dadzą równość prawdziwą).
Równania kwadratowe mogą mieć jedno, dwa lub zero rozwiązań.
Przykład .
Rozwiąż równanie \(x^2=x\).
Rozwiązanie:
Przenosimy \(x\) z prawej strony równania na lewą, a następnie wyciągamy wspólny czynnik przed nawias: \[\begin{split} x^2&=x\\[6pt] x^2-x&=0\\[6pt] x(x-1)&=0\\[6pt] x=0 \quad &\lor\quad x-1=0\\[6pt] x=0 \quad &\lor\quad x=1 \end{split}\] Zatem równanie \(x^2=x\) ma dwa rozwiązania: \(x=0\) oraz \(x=1\).
Przykład .
Rozwiąż równanie \(x^2+6x=-9\).
Rozwiązanie:
Przenosimy liczbę \(-9\) z prawej strony równania na lewą, a następnie stosujemy wzór skróconego mnożenia: \[\begin{split} x^2+6x&=-9\\[6pt] x^2+6x+9&=0\\[6pt] (x+3)^2&=0\\[6pt] x+3&=0\\[6pt] x&=-3 \end{split}\] Zatem równanie \(x^2+6x=-9\) ma jedno rozwiązanie: \(x=-3\).
Przykład .
Rozwiąż równanie \(3x^2+4=0\).
Rozwiązanie:
Przekształcamy podane równanie tak, żeby po lewej stronie otrzymać tylko \(x^2\), a po prawej stronie liczbę: \[\begin{split} 3x^2+4&=0\\[6pt] 3x^2&=-4\\[6pt] x^2&=-\frac{4}{3}\\[6pt] \end{split}\] Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, ponieważ żadna liczba rzeczywista \(x\) podniesiona do kwadratu nie da liczby ujemnej.
Zatem równanie \(3x^2+4=0\) nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych.
Więcej przykładów rozwiązywania równań kwadratowych znajdziesz w kolejnym rozdziale.
Reklama