Jesteś tu: Działy tematyczneNierówności kwadratoweMetoda rozwiązywania nierówności kwadratowych

Metoda rozwiązywania nierówności kwadratowych

Metodę rozwiązywania nierówności kwadratowej można zapisać w czterech krokach:
  • wszystkie wyrazy przenosimy na lewą stronę nierówności, tak aby po prawej zostało tylko \(0\),
  • lewą stronę nierówności traktujemy jako wzór funkcji kwadratowej,
  • wyznaczamy miejsca zerowe tej funkcji kwadratowej (o ile istnieją) i szkicujemy jej wykres,
  • odczytujemy z wykresu rozwiązanie nierówności.
W poniższym nagraniu wideo znajdziesz dokładne omówienie metod rozwiązywania nierówności kwadratowych. Zostały tam przedstawione wszystkie możliwe typy nierówności kwadratowych oraz sposoby ich rozwiązywania.
Na filmie pokazuję wszystkie możliwe typy nierówności kwadratowych oraz sposoby ich rozwiązywania.
Algorytm rozwiązywania nierówności kwadratowych został omówiony również na poniższych przykładach.
Rozwiąż nierówność \(x^2 + 4x + 3 \lt 0\).
Lewą stronę nierówności traktujemy jak funkcję kwadratową: \[f(x) = x^2 + 4x + 3\] Wyznaczamy miejsca zerowe tej funkcji. Najpierw liczymy deltę: \[ \Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \] Czyli: \[\sqrt{\Delta} = 2\] Zatem miejsca zerowe, to: \[\begin{split} x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-4-2}{2\cdot 1}=-3\\[6pt] x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-4+2}{2\cdot 1}=-1 \end{split}\] Teraz szkicujemy wykres paraboli:
Ramiona paraboli będą skierowane do góry, ponieważ współczynnik liczbowy przy \(x^2\) jest dodatni.
Z rysunku odczytujemy, że parabola przyjmuje wartości mniejsze od zera dla: \[x \in (-3, -1)\]
Rozwiąż nierówność \(x^2 + 4x + 3 \le 0\).
Ten przykład różni się od poprzedniego jedynie znakiem nierówności. W tym przypadku rozwiązaniem są te wszystkie \(x\)-y dla których parabola jest ujemna lub równa zero, czyli: \[x \in \langle -3, -1\rangle \]
Rozwiąż nierówność \(x^2 + 4x + 3 \gt 0\).
Ten przykład różni się od poprzedniego jedynie znakiem nierówności. W tym przypadku rozwiązaniem są te wszystkie \(x\)-y dla których parabola przyjmuje wartości dodatnie, czyli: \[x \in (-\infty ,-3)\cup (-1,+\infty ) \]
Rozwiąż nierówność \(x^2 + 4x + 3 \ge 0\).
Ten przykład różni się od poprzedniego jedynie znakiem nierówności. W tym przypadku rozwiązaniem są te wszystkie \(x\)-y dla których parabola jest dodatnia lub równa zero, czyli: \[x \in (-\infty ,-3\rangle \cup \langle -1,+\infty ) \]
W następnym rozdziale znajdziesz wiele przykładów na rozwiązywanie nierówności kwadratowych.
Sąsiednie tematy
Metoda rozwiązywania nierówności kwadratowych (tu jesteś)