Matura 2017 sierpień

Szybka nawigacja do zadania numer: 5 10 15 20 25 30 .

Niech \(a=-2\), \(b=3\). Wartość wyrażenia \(a^b-b^a\) jest równa

A.\( \frac{73}{9} \)

B.\( \frac{71}{9} \)

C.\( -\frac{73}{9} \)

D.\( -\frac{71}{9} \)

Liczba \(9^9\cdot 81^2\) jest równa

A.\( 81^4 \)

B.\( 81 \)

C.\( 9^{13} \)

D.\( 9^{36} \)

Wartość wyrażenia \(\log_48+5\log_42\) jest równa

A.\( 2 \)

B.\( 4 \)

C.\( 2+\log_45 \)

D.\( 1+\log_410 \)

Dane są dwa koła. Promień pierwszego koła jest większy od promienia drugiego koła o \(30\%\). Wynika stąd, że pole pierwszego koła jest większe od pola drugiego koła

A.o mniej niż \(50\%\), ale więcej niż \(40\%\).

B.o mniej niż \(60\%\), ale więcej niż \(50\%\).

C.dokładnie o \(60\%\).

D.o więcej niż \(60\%\).

Liczba (\(2\sqrt{7}-5)^2\cdot (2\sqrt{7}+5)^2 \) jest równa

A.\( 9 \)

B.\( 3 \)

C.\( 2809 \)

D.\( 28-20\sqrt{7} \)

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich liczb \(x\) spełniających warunek: \(11\le 2x-7\le 15\).

Rozważmy treść następującego zadania:
Obwód prostokąta o bokach długości \(a\) i \(b\) jest równy \(60\). Jeden z boków tego prostokąta jest o \(10\) dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta.
Który układ równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta?

A.\( \begin{cases} 2(a+b)=60 \\ a+10=b \end{cases} \)

B.\( \begin{cases} 2a+b=60 \\ 10b=a \end{cases} \)

C.\( \begin{cases} 2ab=60 \\ a-b=10 \end{cases} \)

D.\( \begin{cases} 2(a+b)=60 \\ 10a=b \end{cases} \)

Rozwiązaniem równania \(\frac{x+1}{x+2}=3\), gdzie \(x\ne -2\), jest liczba należąca do przedziału

A.\( (-2,1) \)

B.\( \langle 1,+\infty ) \)

C.\( (-\infty ,-5) \)

D.\( \langle -5,-2) \)

Linę o długości \(100\) metrów rozcięto na trzy części, których długości pozostają w stosunku \(3:4:5\). Stąd wynika, że najdłuższa z tych części ma długość

A.\( 41\frac{2}{3} \) metra.

B.\( 33\frac{1}{3} \) metra.

C.\( 60 \) metrów.

D.\( 25 \) metrów.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=x^2+bx+c\).

Współczynniki \(b\) i \(c\) spełniają warunki:

A.\( b\lt 0, c\gt 0 \)

B.\( b\lt 0, c\lt 0 \)

C.\( b\gt 0, c\gt 0 \)

D.\( b\gt 0, c\lt 0 \)

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla \(n\ge 1\), o którym wiemy, że: \(a_1=2\) i \(a_2=9\). Wtedy \(a_n=79\) dla

A.\( n=10 \)

B.\( n=11 \)

C.\( n=12 \)

D.\( n=13 \)

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich: \((81, 3x, 4)\). Stąd wynika, że

A.\( x=18 \)

B.\( x=6 \)

C.\( x=\frac{85}{6} \)

D.\( x=\frac{6}{85} \)

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełniona jest równość \(\sin \alpha =\frac{2\sqrt{6}}{7}\). Stąd wynika, że

A.\( \cos \alpha =\frac{24}{49} \)

B.\( \cos \alpha =\frac{5}{7} \)

C.\( \cos \alpha =\frac{25}{49} \)

D.\( \cos \alpha =\frac{5\sqrt{6}}{7} \)

Na okręgu o środku w punkcie \(O\) leżą punkty \(A\), \(B\) i \(C\) (zobacz rysunek). Kąt \(ABC\) ma miarę \(121^\circ \), a kąt \(BOC\) ma miarę \(40^\circ \).

Kąt \(AOB\) ma miarę

A.\( 59^\circ \)

B.\( 50^\circ \)

C.\( 81^\circ \)

D.\( 78^\circ \)

W trójkącie \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(BC\), a punkt \(E\) leży na boku \(AC\). Odcinek \(DE\) jest równoległy do boku \(AB\), a ponadto \(|AE|=|DE|=4\), \(|AB|=6\) (zobacz rysunek).

Odcinek \(CE\) ma długość

A.\( \frac{16}{3} \)

B.\( \frac{8}{3} \)

C.\( 8 \)

D.\( 6 \)

Dany jest trójkąt równoboczny, którego pole jest równe \(6\sqrt{3}\). Bok tego trójkąta ma długość

A.\( 3\sqrt{2} \)

B.\( 2\sqrt{3} \)

C.\( 2\sqrt{6} \)

D.\( 6\sqrt{2} \)

Punkty \(B=(-2,4)\) i \(C=(5,1)\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Pole tego kwadratu jest równe

A.\( 29 \)

B.\( 40 \)

C.\( 58 \)

D.\( 74 \)

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\).

Kąt nachylenia krawędzi bocznej \(SA\) ostrosłupa do płaszczyzny podstawy \(ABCD\) to

A.\( \sphericalangle SAO \)

B.\( \sphericalangle SAB \)

C.\( \sphericalangle SOA \)

D.\( \sphericalangle ASB \)

Graniastosłup ma \(14\) wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa

A.\( 14 \)

B.\( 21 \)

C.\( 28 \)

D.\( 26 \)

Prosta \(k\) przechodzi przez punkt \(A=(4,-4)\) i jest prostopadła do osi \(Ox\). Prosta \(k\) ma równanie

A.\( x-4=0 \)

B.\( x-y=0 \)

C.\( y+4=0 \)

D.\( x+y=0 \)

Prosta \(l\) jest nachylona do osi \(Ox\) pod kątem \(30^\circ \) i przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-\sqrt{3})\) (zobacz rysunek).

Prosta \(l\) ma równanie

A.\( y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3} \)

B.\( y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3} \)

C.\( y=\frac{1}{2}x-\sqrt{3} \)

D.\( y=\frac{1}{2}x+\sqrt{3} \)

Dany jest stożek o wysokości \(6\) i tworzącej \(3\sqrt{5}\). Objętość tego stożka jest równa

A.\( 36\pi \)

B.\( 18\pi \)

C.\( 108\pi \)

D.\( 54\pi \)

Średnia arytmetyczna zestawu danych: \(x, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\) jest równa \(9\). Wtedy mediana tego zestawu danych jest równa

A.\( 8 \)

B.\( 9 \)

C.\( 10 \)

D.\( 16 \)

Ile jest wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych niż \(2017\)?

A.\( 2016 \)

B.\( 2017 \)

C.\( 1016 \)

D.\( 1017 \)

Z pudełka, w którym jest tylko \(6\) kul białych i \(n\) kul czarnych, losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe \(\frac{1}{3}\). Liczba kul czarnych jest równa

A.\( n=9 \)

B.\( n=2 \)

C.\( n=18 \)

D.\( n=12 \)

Rozwiąż nierówność \(2x^2+x-6\le 0\).

\(x\in \left\langle -2, \frac{3}{2} \right\rangle \)

Rozwiąż równanie \((x^2-6)(3x+2)=0\).

\(x=\sqrt{6} \lor x=-\sqrt{6} \lor x=-\frac{2}{3}\)

Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność \[4x+\frac{1}{x}\ge 4.\]

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\sphericalangle ACB|=90^\circ \) i \(|\sphericalangle ABC|=60^\circ \). Niech \(D\) oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka \(C\) kąta prostego i przeciwprostokątnej \(AB\) tego trójkąta. Wykaż, że \(|AD|:|DB|=3:1\).

Ze zbioru liczb \(\{1,2,4,5,10\}\) losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez drugą wylosowaną liczbę jest liczbą całkowitą.

\(P(A)=\frac{12}{25}\)

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla \(n\ge 1\), w którym spełniona jest równość \(a_{21}+a_{24}+a_{27}+a_{30}=100\). Oblicz sumę \(a_{25}+a_{26}\).

\(50\)

Funkcja kwadratowa \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma dwa miejsca zerowe \(x_1=-2\) i \(x_2=6\). Wykres funkcji \(f\) przechodzi przez punkt \(A=(1,-5)\). Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\).

\(-\frac{16}{3}\)

Punkt \(C=(0,0)\) jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego \(ABC\), którego wierzchołek \(A\) leży na osi \(Ox\), a wierzchołek \(B\) na osi \(Oy\) układu współrzędnych. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta opuszczona z wierzchołka \(C\) przecina przeciwprostokątną \(AB\) w punkcie \(D=(3,4)\).

Oblicz współrzędne wierzchołków \(A\) i \(B\) tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej \(AB\).

\(A=\left(\frac{25}{3},0\right )\), \(B=\left(0,\frac{25}{4}\right )\), \(|AB|=\frac{125}{12}\)

Podstawą graniastosłupa prostego \(ABCDEF\) jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\sphericalangle ACB=90^\circ |\) (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej \(AC\) tego trójkąta do długości przyprostokątnej \(BC\) jest równy \(4:3\). Punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\), a długość odcinka \(SC\) jest równa \(5\). Pole ściany bocznej \(BEFC\) graniastosłupa jest równe \(48\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.

\(V=192\)