Funkcja wymierna

Proporcjonalność odwrotna - wprowadzenie

Jeżeli jedna wielkość maleje, a druga tyle samo razy rośnie, to mamy wówczas zależność odwrotnie proporcjonalną.
Przykład 1.
Prędkość i czas podróży są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi (jeśli jedna wielkość rośnie, to druga maleje tyle samo razy maleje). Przykładowo:
  • Jeżeli prędkość zwiększymy 2 razy, to czas podróży skróci się 2 razy.
  • Jeżeli prędkość zmniejszymy 5 razy, to czas podróży wydłuży się 5 razy.
Prześledźmy jeszcze raz tą sytuację na konkretnym przykładzie.
Przykład 2.
Adam drogę do szkoły pokonuje w minut idąc z prędkością . Ile czasu zajęłoby mu pokonanie tej samej drogi gdyby jechał na rowerze z prędkością ?
Rozwiązanie:
Na początku liczymy ile razy wzrosłaby prędkość, gdyby Adam jechał na rowerze:
 
Widzimy, że na rowerze prędkość jest 3 razy większa, zatem czas podróży skróci się 3 razy:
 
Zatem na rowerze Adam przejechałby tą trasę w 10 minut.
Zauważmy, że jeżeli dwie wartości są odwrotnie proporcjonalne, to ich iloczyn jest stały. Nawiązując do poprzedniego przykładu wprowadźmy oznaczenia:
v - prędkość
t - czas
Przy takich oznaczeniach możemy zapisać zależność:
 
jest oczywiście droga (która się nie zmienia) i którą często oznaczamy literą S. Stosując te oznaczenia możemy zapisać znany z fizyki wzór:
 
Korzystając z tego faktu możemy rozwiązać Przykład 2 w inny sposób.
Przykład 2 - rozwiązanie - II sposób:
Wprowadźmy oznaczenia:
- czas marszu
- prędkość marszu
- czas jezdy na rowerze (tego szukamy)
- prędkość jazdy na rowerze
Ponieważ:
 
oraz:
 
zatem:
 
Przykład 3.
Trasę z miasta A do miasta B samochód pokonuje w 4 godziny, jeżeli jedzie z prędkością 100 km/h. Z jaką prędkością musiałby jechać, żeby pokonać tą samą trasę w 2,5 godziny?
Rozwiązanie:
Korzystając z metody omówionej w przykładzie 2 możemy oznaczyć:
x - szukana prędkość
i od razu zapisać równanie:
 
Odpowiedź: Aby pokonać trasę w 2,5 godziny, samochód powinien jechać z prędkością 160 km/h.
Przykład 4.
Aby wykonać pewną pracę w ciągu 10 godzin, potrzeba 2 pracowników. Ilu pracowników potrzeba, aby wykonać tą samą pracę w ciągu 4 godzin?
Rozwiązanie:
Zauważmy, że im więcej pracowników wykonuje daną pracę, tym mniejszą liczbę godzin zajmie im jej wykonanie. Zatem liczba pracowników i liczba godzin – są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi. Wprowadźmy oznaczenia:
x - szukana liczba pracowników
Zapiszmy równanie wynikające z odwrotnej proporcjonalności:
 
Odpowiedź: Aby wykonać tę pracę w ciągu 4 godzin należy zatrudnić 5 pracowników.