Jesteś tu: Działy tematyczneWielomianyRozkład wielomianu na czynniki

Rozkład wielomianu na czynniki

Wprowadzenie do rozkładania wielomianu na czynniki
Rozłożenie wielomianu na czynniki, polega na zapisaniu jego wzoru w postaci iloczynu nawiasów.
Taki sposób zapisu wielomianu nazywamy postacią iloczynową.
Poniżej znajdują się przykładowe wielomiany, zapisane w dwóch postaciach - ogólnej i iloczynowej.
Numer przykładu Postać ogólna Postać iloczynowa
1. \(W(x) = x^2 - 4\) \(W(x) = (x - 2)(x + 2)\)
2. \(W(x) = x^2 - 25\) \(W(x) = (x - 5)(x + 5)\)
3. \(W(x) = x^2 - 6x + 9\) \(W(x) = (x - 3)^2\)
4. \(W(x) = x^2 + 5x + 6\) \(W(x) = (x + 2)(x + 3)\)
5. \(W(x) = x^2 + x - 30\) \(W(x) = (x - 5)(x + 6)\)
6. \(W(x) = x^3 + x^2 - 4x - 4\) \(W(x) = (x - 2)(x + 2)(x + 1)\)
7. \(W(x) = x^3 - 2x^2 - 9x + 18\) \(W(x) = (x - 2)(x + 3)(x - 3)\)
8. \(W(x) = 3x^3 + 4x^2 - 147x - 196\) \(W(x) = (x - 7)(x + 7)(3x + 4)\)
9. \(W(x) = x^3 + 4x^2 - 7x - 10\) \(W(x) = (x - 2)(x + 1)(x + 5)\)
10. \(W(x) = x^3 - 8\) \(W(x) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)\)
11. \(W(x) = x^3 + 5x\) \(W(x) = x(x^2 + 5)\)
12. \(W(x) = x^4 - 16\) \(W(x) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)\)
13. \(W(x) = x^4 + 4x^3 + x^2 - 8x - 6\) \(W(x) = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x + 1)(x + 3)\)
14. \(W(x) = x^2 + 1\) nie istnieje
15. \(W(x) = x^2 - x + 5\) nie istnieje
Jak widać na przykładach dwóch ostatnich wielomianów, rozkład na czynniki nie zawsze musi istnieć.
Jeżeli natomiast mamy dany wielomian w postaci iloczynowej, to zawsze możemy łatwo przekształcić go do postaci ogólnej. Wystarczy w tym celu wymnożyć nawiasy wyraz za wyrazem (tak jak mnożymy wyrażenia algebraiczne).
Zapisz wielomian \(W(x) = (x - 2)(x + 1)\) w postaci ogólnej.
Wymnażamy nawiasy:
\[W(x) = (x - 2)(x + 1) = x^2 + x - 2x - 2 = x^2 - x - 2\]
Czyli:
\[W(x) = x^2 - x - 2\]
Łatwo można przekształcić wielomian z postaci iloczynowej na postać ogólną. Trudniej jest wykonać przekształcenie w drugą stronę.
Rozłóż wielomian \(W(x) = x^2 - 4\) na czynniki.
Do zapisania tego wielomianu w postaci iloczynowej wykorzystamy wzór skróconego mnożenia: \[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\] Możemy zatem zapisać, że:
\[W(x) = x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\]
Zatem wielomian \(W(x)\) po rozłożeniu na czynniki przyjmuje postać:
\[W(x) = (x - 2)(x + 2)\]
Więcej przykładów z rozkładania wielomianów na czynniki znajdziesz w następnym rozdziale. Zostaną tam również przedstawione najczęściej stosowane sposoby rozkładu.
Metody rozkładania wielomianów na czynniki zostały także omówione w poniższym nagraniu wideo.
W tym nagraniu wideo pokazuję na jak rozkładać wielomiany na iloczyn czynników.