Jesteś tu: Działy tematyczneLiczby zespoloneWzór de Moivre'a - potęgowanie liczb zespolonych

Wzór de Moivre'a - potęgowanie liczb zespolonych

Przyjmijmy, że mamy dane liczby zespolone z, wC. Oznaczmy ich argumenty odpowiednio przez α i β. Możemy zapisać liczby z oraz w w postaci trygonometrycznej:
Obliczymy teraz iloczyn tych liczb zapisanych w postaci trygonometrycznej: Ostatnia równość wynika ze wzorów trygonometrycznych na cosinus sumy kątów oraz na sinus sumy kątów.
Powyższy rachunek pokazuje, że przy mnożeniu dwóch liczb zespolonych z, wC otrzymujemy liczbę zespoloną, której:
  • moduł jest iloczynem modułów liczb z oraz w,
  • argument jest sumą argumentów liczb z oraz w.
Wynika stąd następujący wzór:
Wzór de Moivre'a Dla dowolnej liczby zC zachodzi następujący wzór:
Przy pomocy tego wzoru można szybko podnosić liczby zespolone do dowolnie dużych potęg.
Przykład 1. Dana jest liczba z = 1 - i. Oblicz z100.
Rozwiązanie:
Zacznijmy od zapisania liczby zespolonej z = 1 - i w postaci trygonometrycznej.
Zaznaczmy ją w układzie współrzędnych:
Obliczamy moduł: Obliczamy argument: Kąt φ leży w IV ćwiartce układu współrzędnych, zatem: Argument można było również odczytać z układu współrzędnych. Widać, że φ = 3 ⋅ 90° + 45° = 315°.
Zapiszmy teraz liczbę z = 1 - i w postaci trygonometrycznej:
Korzystając ze wzoru de Moivre'a liczymy, że:
Przykład 2. Dana jest liczba z = -1 + √3i. Oblicz z67.
Rozwiązanie:
Zaznaczamy liczbę z = -1 + √3i w układzie współrzędnych:
Teraz obliczamy moduł: Obliczamy argument: Kąt φ leży w II ćwiartce układu współrzędnych, zatem: Argument można było również odczytać z układu współrzędnych. Widać, że φ = 90° + 30° = 120°.
Zapiszmy teraz liczbę z = -1 + √3i w postaci trygonometrycznej:
Stosując wzór de Moivre'a obliczamy, że: