Stopień wielomianu

Zacznijmy od podania krótkiej definicji:
Stopień wielomianu – to najwyższa potęga \(x\)-a w tym wielomianie.
Przykład .
Przykłady wielomianów stopnia \(1\)-ego:
  • \(W(x)=5x+2\)
  • \(W(x)=3x-1\)
  • \(W(x)=-x+\sqrt{2}\)
  • \(W(x)=\frac{3}{7}x+10\)
  • \(W(x)=\frac{1}{2}-2x\)
We wzorze każdego z powyższych wielomianów \(x\) występuje w pierwszej potędze, dlatego są to wielomiany pierwszego stopnia.
Przykład .
Przykłady wielomianów stopnia \(2\)-ego:
  • \(W(x)=5x^2+2\)
  • \(W(x)=3x^2-1\)
  • \(W(x)=-x^2+\sqrt{2}\)
  • \(W(x)=\frac{3}{7}x^2+6x+10\)
  • \(W(x)=\frac{1}{2}-2x^2+x\)
  • \(W(x)=(x+1)(x-2)\)
    Ten wielomian również jest stopnia drugiego. Gdyby wymnożyć te dwa nawiasy, to otrzymalibyśmy we wzorze \(x\)-a w drugiej potędze: \[W(x)=(x+1)(x-2)=x^2-x-2\]
Wszystkie powyższe wielomiany są stopnia drugiego, ponieważ w każdym występuje \(x\) w drugiej potędze.
Przykład .
Przykłady wielomianów stopnia \(3\)-ego:
  • \(W(x)=5x^3+2\)
  • \(W(x)=77x^3+2x^2-x-1\)
  • \(W(x)=-x^3-x^2+\sqrt{2}x+1\)
  • \(W(x)=\frac{3}{7}x^3\)
  • \(W(x)=\frac{1}{2}-2x^3+x\)
  • \(W(x)=(x+1)(x-2)(x+3)\)
    Ten wielomian również jest stopnia trzeciego. Gdyby wymnożyć te trzy nawiasy, to otrzymalibyśmy we wzorze \(x\)-a w trzeciej potędze: \[\begin{split} W(x) &=(x+1)(x-2)(x+3)=\\[6pt] &=(x^2-x-2)(x+3)=\\[6pt] &=x^3+3x^2-x^2-3x-2x-6=\\[6pt] &=x^3+2x^2-5x-6 \end{split}\]
Wszystkie powyższe wielomiany są stopnia trzeciego, ponieważ w każdym występuje \(x\) w trzeciej potędze.
Przykład .
Wielomian \[W(x)=3x^5-x^3+11x^2+7\] jest stopnia \(5\)-ego ponieważ najwyższą potęgą \(x\)-a jest liczba \(5\).
Przykład .
Wielomian \[W(x)=-22x^{51}+16x^{10}\] jest stopnia \(51\)-ego ponieważ najwyższą potęgą \(x\)-a jest liczba \(51\).

Zadanie .

Dane są wielomiany \(W(x) = x^3 + 3x^2 + x - 11\) i \(V(x) = x^3 + 3x^2 + 1\). Stopień wielomianu \(W(x) - V(x)\) jest równy
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 2 \)
\( 3 \)

Zadanie .

Dane są wielomiany \( W(x)=3x^3-2x, V(x)=2x^2+3x \). Stopień wielomianu \( W(x)\cdot V(x) \) jest równy
\(6 \)
\(5 \)
\(4 \)
\(3 \)

Zadanie .

Dane są wielomiany \(W(x)=x^4-1\) oraz \(V(x)=x^4+1\). Stopień wielomianu \(W(x)+V(x)\) jest równy
\( 4 \)
\( 8 \)
\( 16 \)
\( 0 \)

Zadanie .

Stopień wielomianu \(W(x)=(x-1)^2(2x+1)(4x^3-3)\) jest równy
\( 5 \)
\( 6 \)
\( 8 \)
\( 4 \)
Reklama