W rozdziale
Definicja wielomianu została podana definicja stopnia jednomianu. Przypomnijmy krótko, że stopień jednomianu \(y=ax^n\) jest równy \(n\).
Definicja
Stopień wielomianu - to najwyższy stopień występujących w nim jednomianów. Przykłady wielomianów
\(1\)-ego stopnia:
\(W(x)=5x+2\)
\(W(x)=3x-1\)
\(W(x)=-x+\sqrt{2}\)
\(W(x)=\frac{3}{7}x+10\)
\(W(x)=\frac{1}{2}-2x\)
We wzorze każdego z powyższych wielomianów \(x\) występuje w pierwszej potędze, dlatego są to wielomiany pierwszego stopnia.
Przykłady wielomianów
\(2\)-ego stopnia:
\(W(x)=5x^2+2\)
\(W(x)=3x^2-1\)
\(W(x)=-x^2+\sqrt{2}\)
\(W(x)=\frac{3}{7}x^2+6x+10\)
\(W(x)=\frac{1}{2}-2x^2+x\)
\(W(x)=(x+1)(x-2)\)
Ten wielomian również jest stopnia drugiego. Gdyby wymnożyć te dwa nawiasy, to otrzymalibyśmy we wzorze \(x\)-a w drugiej potędze: \[W(x)=(x+1)(x-2)=x^2-x-2\]
Wszystkie powyższe wielomiany są drugiego stopnia, ponieważ w każdym występuje \(x\) w drugiej potędze.
Przykłady wielomianów
stopnia \(3\)-ego:
\(W(x)=5x^3+2\)
\(W(x)=77x^3+2x^2-x-1\)
\(W(x)=-x^3-x^2+\sqrt{2}x+1\)
\(W(x)=\frac{3}{7}x^3\)
\(W(x)=\frac{1}{2}-2x^3+x\)
\(W(x)=(x+1)(x-2)(x+3)\)
Ten wielomian również jest stopnia trzeciego. Gdyby wymnożyć te trzy nawiasy, to otrzymalibyśmy we wzorze \(x\)-a w trzeciej potędze: \[\begin{split} W(x) &=(x+1)(x-2)(x+3)=\\[6pt] &=(x^2-x-2)(x+3)=\\[6pt] &=x^3+3x^2-x^2-3x-2x-6=\\[6pt] &=x^3+2x^2-5x-6 \end{split}\]
Wszystkie powyższe wielomiany są trzeciego stopnia, ponieważ w każdym występuje \(x\) w trzeciej potędze.
Wielomian \[W(x)=3x^5-x^3+11x^2+7\] jest stopnia \(5\)-ego ponieważ najwyższą potęgą \(x\)-a jest liczba \(5\).
Wielomian \[W(x)=-22x^{51}+16x^{10}\] jest stopnia \(51\)-ego ponieważ najwyższą potęgą \(x\)-a jest liczba \(51\).