Pochodna funkcji w punkcie
Załóżmy, że funkcja \(f\) jest określona w przedziale do którego należą argumenty \(x_0\) oraz \(x\).
Możemy określić:
Teraz narysujmy prostą \(y=ax+b\) przechodzącą przez punkty \(A\) i \(B\): 
Prosta tworzy kąt \(\alpha \) z osią \(OX\) oraz z odcinkiem długości \(x-x_0\). Z trójkąta prostokątnego można obliczyć \(\operatorname{tg} \alpha \): 
Współczynnik kierunkowy prostej jest równy tangensowi kąta jaki tworzy ta prosta z osią \(OX\).
Zatem: \[a=\operatorname{tg} \alpha =\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\] Czyli równanie prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\) funkcji \(f\) możemy zapisać tak: \[y=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot x+b\] Popatrzmy teraz co się dzieje, gdy zbliżamy się z argumentem \(x\) do argumentu \(x_0\).
Prosta przechodząca przez punkty \(A\) i \(B\) dąży do prostej stycznej w punkcie \(A\). 
Jeżeli obliczymy granicę ilorazu różnicowego: \[\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\] to będzie ona równa współczynnikowi kierunkowemu prostej stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(A\). Ten współczynnik kierunkowy nazywamy wówczas pochodną funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) i oznaczamy: \[f'(x_0)\] A teraz formalna definicja:
Możemy określić:
- przyrost argumentu funkcji:\[x-x_0\] Jest to różnica argumentów \(x\) oraz \(x_0\), czyli odległość miedzy tymi argumentami.
- przyrost wartości funkcji:\[f(x)-f(x_0)\] Jest to różnica wartości funkcji \(f(x)\) oraz \(f(x_0)\), czyli odległość miedzy tymi wartościami.
Definicja
Ilorazem różnicowym nazywamy iloraz przyrostu wartości funkcji i przyrostu argumentu funkcji: \[\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\] Prosta tworzy kąt \(\alpha \) z osią \(OX\) oraz z odcinkiem długości \(x-x_0\). Z trójkąta prostokątnego można obliczyć \(\operatorname{tg} \alpha \): Współczynnik kierunkowy prostej jest równy tangensowi kąta jaki tworzy ta prosta z osią \(OX\).Zatem: \[a=\operatorname{tg} \alpha =\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\] Czyli równanie prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\) funkcji \(f\) możemy zapisać tak: \[y=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot x+b\] Popatrzmy teraz co się dzieje, gdy zbliżamy się z argumentem \(x\) do argumentu \(x_0\).
Prosta przechodząca przez punkty \(A\) i \(B\) dąży do prostej stycznej w punkcie \(A\). Jeżeli obliczymy granicę ilorazu różnicowego: \[\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\] to będzie ona równa współczynnikowi kierunkowemu prostej stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(A\). Ten współczynnik kierunkowy nazywamy wówczas pochodną funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) i oznaczamy: \[f'(x_0)\] A teraz formalna definicja: Definicja
Jeżeli istnieje skończona granica \(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\), to nazywamy ją pochodną funkcji \(f\) w punkcie \( x_0\) i oznaczamy \(f'(x_0)\): \[f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]Oblicz pochodną funkcji \(f(x)=x^2\) w punkcie \(x_0=-2\).
\[ \begin{split} f'(-2)&=\lim_{x \to -2} \frac{f(x)-f(-2)}{x-(-2)}=\\[6pt] &=\lim_{x \to -2} \frac{x^2-(-2)^2}{x+2}=\\[6pt] &=\lim_{x \to -2} \frac{x^2-4}{x+2}=\\[6pt] &=\lim_{x \to -2} \frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=\\[6pt] &=\lim_{x \to -2} (x-2)=\\[6pt] &=-2-2=-4 \end{split} \] Liczba \(-4\) to współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu funkcji \(f(x)=x^2\) w punkcie \(x_0=-2\).
Oblicz pochodną funkcji \(f(x)=x^3-2x\) w punkcie \(x_0=5\).
\[ \begin{split} f'(5)&=\lim_{x \to 5} \frac{f(x)-f(5)}{x-5}=\\[6pt] &=\lim_{x \to 5} \frac{x^3-2x-(5^3-2\cdot 5)}{x-5}=\\[6pt] &=\lim_{x \to 5} \frac{x^3-2x-115}{x-5}=\\[6pt] &=\lim_{x \to 5} \frac{(x-5)(x^2+5x+23)}{x-5}=\\[6pt] &=\lim_{x \to 5} (x^2+5x+23)=\\[6pt] &=5^2+5\cdot 5+23=73 \end{split} \] Liczba \(73\) to współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu funkcji \(f(x)=x^3-2x\) w punkcie \(x_0=5\).