Jesteś tu: Działy tematyczneLiczby zespoloneDefinicja liczby zespolonej

Definicja liczby zespolonej

Liczbą zespoloną nazywamy liczbę postaci: gdzie \(a\), \(b\) - to dowolne liczby rzeczywiste.
Zauważ, że jeżeli weźmiemy \(b = 0\), to otrzymamy zwykłą liczbę rzeczywistą.
Jeżeli natomiast weźmiemy \(a = 0\), to otrzymamy liczbę zespoloną, która będzie czysto urojona (tzn. nie będzie mieć części rzeczywistej).
Przykłady:
  • liczb zespolonych z częścią rzeczywistą i urojoną:
  • liczb zespolonych tylko z częścią rzeczywistą:
  • liczb zespolonych tylko z częścią urojoną:
Uwaga odnośnie interpretowania liczb zespolonych:
  • Jeżeli liczba zespolona nie ma części rzeczywistej, to równoważnie mówimy, że jej część rzeczywista jest równa zero.
  • Jeżeli liczba zespolona nie ma części urojonej, to równoważnie mówimy, że jej część urojona jest równa zero.
Żeby określić dowolną liczbę zespoloną, to wystarczy podać jej część rzeczywistą (w definicji literka \(a\)) i urojoną (w definicji literka \(b\)).
Przykłady:
  • Liczba zespolona o części rzeczywistej \(7\) i urojonej \(13\), to liczba: \(7 + 13i\).
  • Liczba zespolona o części rzeczywistej \(-1\) i urojonej \(2\), to liczba: \(-1 + 2i\).
  • Liczba zespolona o części rzeczywistej \(3\) i urojonej \(-1\), to liczba: \(3 - i\).
  • Liczba zespolona o części rzeczywistej \(0\) i urojonej \(-4\), to liczba: \(-4i\).
Ważne!
Zauważ, że gdy podajemy część urojoną liczby zespolonej, to ograniczamy się jedynie do współczynnika liczbowego stojącego przy \(i\) (samej jednostki urojonej \(i\) nie piszemy).
Liczby zespolone często oznacza się symbolem \(z\). Możemy zapisać np.: \(z = 7 + 13i\).
To jest tylko takie umowne oznaczenie, podobnie jak np. liczby naturalne oznaczamy często literką \(n\).
Na początku rozdziału pokazaliśmy sobie, że każda liczba zespolona składa się z części rzeczywistej i części urojonej. Teraz to trochę uściślimy i powiemy sobie co dokładnie oznaczają poznane przed chwilą pojęcia.
Przyjmijmy, że mamy daną liczbę zespoloną \(z = a + bi\). Wówczas mamy: Uwaga odnośnie zapisu części rzeczywistej i urojonej.
  • Część rzeczywistą liczby zespolonej \(z\) oznaczamy symbolem: \(\operatorname{Re}(z)\) (ang. Real).
  • Część urojoną liczby zespolonej \(z\) oznaczamy symbolem: \(\operatorname{Im}(z)\) (ang. Imaginary).
Przykłady:
  • Zamiast pisać: "Część rzeczywista liczby zespolonej \(7 + 13i\) jest równa \(7\)" oraz "Część urojona liczby zespolonej \(7 + 13i\) jest równa \(13\)", zapiszemy krótko:
    \(\operatorname{Re}(7 + 13i) = 7\)
    \(\operatorname{Im}(7 + 13i) = 13\)
  • \(\operatorname{Re}(-5i) = 0\)
    \(\operatorname{Im}(-5i) = -5\)
  • \(\operatorname{Re}(1 + \sqrt{2}) = 1 + \sqrt{2}\)
    \(\operatorname{Im}(1 + \sqrt{2}) = 0\)
  • \(\operatorname{Re}\Bigl (3 + \sqrt{5} + (1 - \pi )i \Bigl ) = 3 + \sqrt{5}\)
    \(\operatorname{Im}\Bigl (3 + \sqrt{5} + (1 - \pi )i \Bigl ) = 1 - \pi\)
Liczba zespolona jako para liczb rzeczywistych (punkt)
Wiemy już, że każdą liczbę zespoloną jednoznacznie określają dwie liczby rzeczywiste (część rzeczywista i część urojona). W związku z tym, każdą liczbę zespoloną \(z = a + bi\) można utożsamiać z parą liczb rzeczywistych: \[(a,b)\] Przykłady:
  • Para \((2, 7)\) oznacza liczbę zespoloną \(z = 2 + 7i\).
  • Para \((7, 2)\) oznacza liczbę zespoloną \(z = 7 + 2i\).
  • Para \((15, -1)\) oznacza liczbę zespoloną \(z = 15 - i\).
  • Para \((0, 1)\) oznacza liczbę zespoloną \(z = i\).
  • Para \((6, 0)\) oznacza liczbę zespoloną \(z = 6\).
Więcej o patrzeniu na liczby zespolone jak na punkty znajdziesz w rozdziale Interpretacja geometryczna.