Jesteś tu: Działy tematyczneWyrażenia wymierneDziedzina wyrażenia wymiernego

Dziedzina wyrażenia wymiernego

Dla dowolnego wyrażenia wymiernego należy zrobić założenie, że mianownik jest różny od zera.
W ten sposób dajemy sobie gwarancję, że nie wykonamy dzielenia przez 0 (które jest w matematyce działaniem niedozwolonym).
Robienie takich założeń to inaczej określanie dziedziny wyrażenia wymiernego.
Można zatem powiedzieć, że dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, z wyłączeniem tych liczb, które zerują mianownik.
Wiele przykładów wyznaczania dziedziny można znaleźć w dziale dziedzina funkcji
Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego \(\frac{4x+1}{6x-18}\).
Zakładamy, że mianownik jest różny od zera: \[\begin{split} 6x-18&\ne 0\\[6pt] 6x&\ne 18\\[6pt] x&\ne 3 \end{split}\] Zatem z dziedziny musimy wykluczyć liczbę \(3\).
Czyli dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem \(3\).
Zapisujemy to tak: \(D=\mathbb{R} \backslash \{3\}\).
Można również zapisać po prostu: \(x\ne 3\).
Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego \(\frac{-5x^2+2x}{-2x-3}\).
Zakładamy, że mianownik jest różny od zera: \[\begin{split} -2x-3&\ne 0\\[6pt] 2x&\ne -3\\[6pt] x&\ne -\frac{3}{2} \end{split}\] Zatem z dziedziny musimy wykluczyć liczbę \(-\frac{3}{2}\).
Czyli dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem \(-\frac{3}{2}\).
Zapisujemy to tak: \(D=\mathbb{R} \backslash \{-\frac{3}{2}\}\).
Można również zapisać po prostu: \(x\ne -\frac{3}{2}\).
Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego \(\frac{1}{(x-5)(x+7)}\).
Sprawdzamy kiedy mianownik zeruje się: \[\begin{split} (x-5)(x+7)&= 0\\[6pt] x-5=0\quad &\lor\quad x+7=0\\[6pt] x=5\quad &\lor\quad x=-7 \end{split}\] Czyli \(x = 5\) zeruje mianownik oraz \(x = -7\) zeruje mianownik.
Zatem z dziedziny musimy wykluczyć dwie liczby – liczbę \(5\) oraz liczbę \(-7\). Zapisujemy to tak: \(D=\mathbb{R} \backslash \{-7, 5\}\).
Można również zapisać, że: \(x\ne -7 \land x\ne 5\).
Dziedziną wyrażenia wymiernego \(\frac{36-x^2}{(6-x)(x^3-1)}\) jest zbiór
\( \mathbb{R} \backslash \{1,6 \} \)
\( \mathbb{R} \backslash \{-6,-1,6 \} \)
\( \mathbb{R} \backslash \{-6,6 \} \)
\( \mathbb{R} \backslash \{-6,1,6 \} \)
A
Zbiór \(\mathbb{R} \backslash \{-3, 0, 2\}\) jest dziedziną wyrażenia
\( \frac{x^2+3x+1}{x^2+x-6} \)
\( \frac{x^2-x-2}{x^3+5x^2+6x} \)
\( \frac{3x+2}{x(x-2)(x-3)} \)
\( \frac{2x+2}{x(x-2)(x+3)} \)
D
Które liczby ze zbioru \(\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}\) nie należą do dziedziny poniższego wyrażenia wymiernego: \[\frac{x^2+x-5}{x^3-9x}\]
\( 0,9 \)
\( -2,-1,1,2 \)
\( -3,-1,1,3 \)
\( -3,0,3 \)
D
Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego \( \frac{2x^2+2x+4}{x^4+3x^3-4x^2-12x} \).
\(x\in \mathbb{R} \backslash \{-3,-2,0,2\}\)