Definicja
Dziedzina wyrażenia wymiernego - to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które nie zerują mianownika (bo nie wolno dzielić przez \(0\)). Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego \(\frac{4x+1}{6x-18}\).
Zakładamy, że mianownik jest różny od zera: \[\begin{split} 6x-18&\ne 0\\[6pt] 6x&\ne 18\\[6pt] x&\ne 3 \end{split}\] Zatem z dziedziny musimy wykluczyć liczbę \(3\).
Czyli dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby \(3\).
Zapisujemy to tak: \(D=\mathbb{R} \backslash \{3\}\),
lub tak: \(x\ne 3\).
Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego \(\frac{-5x^2+2x}{-2x-3}\).
Zakładamy, że mianownik jest różny od zera: \[\begin{split} -2x-3&\ne 0\\[6pt] 2x&\ne -3\\[6pt] x&\ne -\frac{3}{2} \end{split}\] Zatem dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby \(x=-\frac{3}{2}\).
Czyli: \(D=\mathbb{R} \backslash \{-\frac{3}{2}\}\).
Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego \(\frac{1}{(x-5)(x+7)}\).
Sprawdzamy kiedy mianownik zeruje się: \[\begin{split} (x-5)(x+7)&= 0\\[6pt] x-5=0\quad &\lor\quad x+7=0\\[6pt] x=5\quad &\lor\quad x=-7 \end{split}\] Czyli \(x = 5\) zeruje mianownik oraz \(x = -7\) zeruje mianownik.
Zatem dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby \(5\) oraz liczby \(-7\).
Zapisujemy to tak: \(D=\mathbb{R} \backslash \{-7, 5\}\)
Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego \( \frac{2x^2+2x+4}{x^4+3x^3-4x^2-12x} \).
\(x\in \mathbb{R} \backslash \{-3,-2,0,2\}\)