Jesteś tutaj: SzkołaWyrażenia wymierneDziedzina wyrażenia wymiernego
◀ Podstawowe wiadomości o wyrażeniach wymiernych

Dziedzina wyrażenia wymiernego

Definicja

Dziedzina wyrażenia wymiernego - to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które nie zerują mianownika (bo nie wolno dzielić przez \(0\)).
Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego \(\frac{4x+1}{6x-18}\).
Zakładamy, że mianownik jest różny od zera: \[\begin{split} 6x-18&\ne 0\\[6pt] 6x&\ne 18\\[6pt] x&\ne 3 \end{split}\] Zatem z dziedziny musimy wykluczyć liczbę \(3\).
Czyli dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby \(3\).
Zapisujemy to tak: \(D=\mathbb{R} \backslash \{3\}\),
lub tak: \(x\ne 3\).
Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego \(\frac{-5x^2+2x}{-2x-3}\).
Zakładamy, że mianownik jest różny od zera: \[\begin{split} -2x-3&\ne 0\\[6pt] 2x&\ne -3\\[6pt] x&\ne -\frac{3}{2} \end{split}\] Zatem dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby \(x=-\frac{3}{2}\).
Czyli: \(D=\mathbb{R} \backslash \{-\frac{3}{2}\}\).
Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego \(\frac{1}{(x-5)(x+7)}\).
Sprawdzamy kiedy mianownik zeruje się: \[\begin{split} (x-5)(x+7)&= 0\\[6pt] x-5=0\quad &\lor\quad x+7=0\\[6pt] x=5\quad &\lor\quad x=-7 \end{split}\] Czyli \(x = 5\) zeruje mianownik oraz \(x = -7\) zeruje mianownik.
Zatem dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby \(5\) oraz liczby \(-7\).
Zapisujemy to tak: \(D=\mathbb{R} \backslash \{-7, 5\}\)
Więcej przykładów z wyznaczania dziedziny jest w dziale dziedzina funkcji.
Dziedziną wyrażenia wymiernego \(\frac{36-x^2}{(6-x)(x^3-1)}\) jest zbiór
A.\( \mathbb{R} \backslash \{1,6 \} \)
B.\( \mathbb{R} \backslash \{-6,-1,6 \} \)
C.\( \mathbb{R} \backslash \{-6,6 \} \)
D.\( \mathbb{R} \backslash \{-6,1,6 \} \)
A
Zbiór \(\mathbb{R} \backslash \{-3, 0, 2\}\) jest dziedziną wyrażenia
A.\( \frac{x^2+3x+1}{x^2+x-6} \)
B.\( \frac{x^2-x-2}{x^3+5x^2+6x} \)
C.\( \frac{3x+2}{x(x-2)(x-3)} \)
D.\( \frac{2x+2}{x(x-2)(x+3)} \)
D
Które liczby ze zbioru \(\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}\) nie należą do dziedziny poniższego wyrażenia wymiernego: \[\frac{x^2+x-5}{x^3-9x}\]
A.\( 0,9 \)
B.\( -2,-1,1,2 \)
C.\( -3,-1,1,3 \)
D.\( -3,0,3 \)
D
Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego \( \frac{2x^2+2x+4}{x^4+3x^3-4x^2-12x} \).
\(x\in \mathbb{R} \backslash \{-3,-2,0,2\}\)