Całki

Wprowadzenie do całek

Całkowanie jest działaniem odwrotnym do różniczkowania.
Żeby sprawnie liczyć całki, należy wcześniej dobrze opanować liczenie pochodnych.
Całkę oznaczamy symbolem
\[\int \] Symbol ten pochodzi od łacińskiego słowa Summa (suma).
Poniżej podam uproszczoną definicję całki.
Całką funkcji \(f(x)\) nazywamy taką funkcję \(F(x)\), że: \[F'(x)=f(x)\] Funkcję \(F(x)\) spełniającą powyższy warunek nazywa się funkcją pierwotną.
Samą operację całkowania zapiszemy w następujący sposób: \[\int f(x)dx=F(x)\]
W powyższym napisie pojawił się trochę niespodziewanie na końcu całki znaczek \(dx\). Mówi on, że całkujemy funkcję \(f(x)\) po zmiennej \(x\) i tak jakby zamyka operację całkowania. Przy liczeniu prostych całek jego istnienie na nic nie wpływa, ale należy go pisać ze względów formalnych.
Możemy zatem napisać, że schemat całkowania wygląda następująco:
Oblicz całkę funkcji \(f(x) = 2x + 7\).
Wykonujemy następujący rachunek: \[\int f(x)\ dx=\int 2x+7\ dx=x^2+7x\] Sprawdzamy rozwiązanie: \[(x^2+7x)'=2x+7\] Należy jednak zauważyć, że znaleziona przez nas funkcja \(F(x) = x^2 + 7x\) nie jest jedynym dobrym rozwiązaniem. Do powyższej funkcji moglibyśmy dodać jeszcze dowolną liczbę i wówczas otrzymalibyśmy inną dobrą funkcję pierwotną dla funkcji \(f(x) = 2x + 7\). Na przykład: \[(x^2+7x+13)'=2x+7\] albo: \[(x^2+7x+100)'=2x+7\]
Zatem teoretycznie powinniśmy napisać: \[\int f(x)\ dx=\int 2x+7\ dx=x^2+7x+C\] gdzie \(C\) - to dowolna liczba rzeczywista.
Oblicz całkę funkcji \(f(x) = x^2\).
Wykonujemy następujący rachunek: \[\int f(x)\ dx=\int x^2\ dx=\frac{1}{3}x^3+C\] Sprawdzamy rozwiązanie: \[\left(\frac{1}{3}x^3+C\right)'=\frac{1}{3}\cdot 3x^2=x^2\]
Do całkowania prostych funkcji wykorzystujemy wzory całkowe, które są również przydatne przy liczeniu całek bardziej skomplikowanych funkcji.
Linki sponsorowane