Jeżeli obie funkcje \(f(x)\) i \(g(x)\) są różniczkowalne, to pochodną złożenia tych funkcji obliczamy według wzoru: \[\Bigl(f\bigl(g(x)\bigl)\Bigl)'=f'\bigl(g(x)\bigl)\cdot g'(x)\]
Dane są funkcje \(f(x)=3x^2\) oraz \(g(x)=\sin x\). Oblicz pochodną złożenia funkcji \(f(x)\) z funkcją \(g(x)\) oraz pochodną złożenia funkcji \(g(x)\) z funkcją \(f(x)\).
Najpierw obliczymy pochodną złożenia funkcji \(f(x)\) z funkcją \(g(x)\): \[\begin{split} \Bigl(f\bigl(g(x)\bigl)\Bigl)' &=\bigl(f(\sin x)\bigl)'=\\[6pt] &=\bigl(3(\sin x)^2\bigl)'\\[6pt] &=2\cdot 3\sin x\cdot (\sin x)'=\\[6pt] &=6\sin x\cos x \end{split}\] Teraz pochodna złożenia funkcji \(g(x)\) z funkcją \(f(x)\): \[\begin{split} \Bigl(g\bigl(f(x)\bigl)\Bigl)' &=\bigl(g(3x^2)\bigl)'=\\[6pt] &=\bigl(\sin (3x^2)\bigl)'\\[6pt] &=\cos(3x^2)\cdot (3x^2)'=\\[6pt] &=6x\cos (3x^2) \end{split}\]
Oblicz pochodną funkcji \(f(x) =\sqrt{3 x^4-4 x} \).
\begin{aligned} f^{\prime}(x) & =\frac{1}{2 \sqrt{3 x^4-4 x}} \cdot\left(3 x^4-4 x\right)^{\prime}= \\ & =\frac{12 x^3-4}{2 \sqrt{3 x^4-4 x}}= \\ & =\frac{6 x^3-2}{\sqrt{3 x^4-4 x}} \end{aligned}