Równania trygonometryczne

W tym nagraniu wideo omawiam metodę rozwiązywania równań trygonometrycznych i pokazuję jak najlepiej rysować wykresy sinusa i cosinusa.

Czas nagrania: 25 min.

Równanie \(2\sin x+3\cos x=6\) w przedziale \((0,2\pi )\)

A.nie ma rozwiązań rzeczywistych.

B.ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.

C.ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.

D.ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Rozwiąż równanie \(\sin6x + \cos3x = 2\sin3x + 1\) w przedziale \(\langle 0, \pi \rangle\).

\(x = 0, x = \frac{2}{3}\pi , x = \frac{7}{18}\pi, x = \frac{11}{18}\pi.\)

Rozwiąż równanie \(\cos 3x+\sin 7x=0\) w przedziale \(\langle0,\pi\rangle\).

\(x\in \left\{\frac{3}{8}\pi,\frac{7}{8}\pi,\frac{3}{20}\pi,\frac{7}{20}\pi,\frac{11}{20}\pi,\frac{15}{20}\pi,\frac{19}{20}\pi\right\}\)

Rozwiąż równanie \((\cos x) \Biggl[ \sin \biggl(x - \frac{\pi}{3} \biggl) + \sin \biggl(x + \frac{\pi}{3} \biggl)\Biggl] = \frac{1}{2}\sin x\).

\(x \in \biggl\{-\frac{\pi}{3} + 2k\pi, k\pi, \frac{\pi}{3} + 2k\pi\biggl\}\)

Rozwiąż równanie \( \sqrt{3}\cdot \cos x=1+\sin x \) w przedziale \( \langle 0, 2\pi \rangle \) .

\(x=\frac{3\pi }{2}\) lub \(x=\frac{\pi }{6}\)

Dane jest równanie \(\sin x = a^2 + 1\), z niewiadomą \(x\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których dane równanie nie ma rozwiązań.

\(a\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)

Wyznacz, w zależności od całkowitych wartości parametru \(a\gt 0\), liczbę różnych rozwiązań równania \(\sin (\pi ax)=1\) w przedziale \(\left\langle 0,\frac{1}{a} \right\rangle \).

Rozwiąż równanie \(\sin 2x+2\sin x+\cos x+1=0\), dla \(x\in \langle -\pi ,\pi \rangle \).

\(-\frac{5\pi }{6}\), \(-\frac{\pi }{6}\), \(-\pi \), \(\pi \)

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\alpha \in \langle 0;2\pi \rangle \), dla których równanie \((x^2-\sin 2\alpha )(x-1)=0\) ma trzy rozwiązania.

\(\alpha \in (0;\frac{\pi }{4})\cup (\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})\cup (\pi ;\frac{5\pi }{4})\cup (\frac{5\pi }{4};\frac{3\pi }{2})\)

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których równanie \((\cos x+a)\cdot (\sin^{2} x-a)=0\) ma w przedziale \(\langle 0,2\pi \rangle \) dokładnie trzy różne rozwiązania.

\(a=1\)

Rozwiąż równanie \(\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\cos x=\frac{3}{2}\) w przedziale \(\langle 0; 2\pi \rangle \).

\(x\in \left\{0, \frac{\pi}{3}, 2\pi \right\}\)

Dana jest funkcja \(f(x)=\cos x\) oraz funkcja \(g(x)=f\left(\frac{1}{2}x\right)\). Rozwiąż graficznie i algebraicznie równanie \(f(x)=g(x)\).

\(x=\frac{4}{3}k\pi \land k\in \mathbb{Z} \)

Rozwiąż równanie \(\sin x|\cos x|=0,25\), gdzie \(x\in \langle 0; 2\pi \rangle\).

\(x=\frac{\pi }{12}\) lub \(x=\frac{5\pi }{12}\) lub \(x=\frac{7\pi }{12}\) lub \(x=\frac{11\pi }{12}\)

Rozwiąż równanie \(\cos2x + 2 = 3\cos x\).

\(x=\frac{\pi }{3}+2k\pi \) lub \(x=-\frac{\pi }{3}+2k\pi \) lub \(x=2k\pi \) gdzie \(k\in \mathbb{Z} \)

Rozwiąż równanie \(\cos 2x + \cos x + 1 = 0\) dla \(x\in \langle 0,2\pi \rangle\).

\(x=\frac{\pi }{2}\) lub \(x=\frac{3\pi }{2}\) lub \(x=\frac{2\pi }{3}\) lub \(x=\frac{4\pi }{3}\)

Rozwiąż równanie \(\cos 2x+3\cos x=-2\) w przedziale \(\langle 0,2\pi \rangle \).