Matura 2012 maj

Zadanie 1. (1 pkt)

Cenę nart obniżono o \(20\%\), a po miesiącu nową cenę obniżono o dalsze \(30\%\). W wyniku obu obniżek cena nart zmniejszyła się o
\(44\% \)
\(50\% \)
\(56\% \)
\(60\% \)

Zadanie 2. (1 pkt)

Liczba \(\sqrt[3]{{(-8)}^{-1}}\cdot {16}^{\frac{3}{4}}\) jest równa
\( -8 \)
\( -4 \)
\( 2 \)
\( 4 \)

Zadanie 3. (1 pkt)

Liczba \( {(3-\sqrt{2})}^{2}+4(2-\sqrt{2}) \) jest równa
\(19-10\sqrt{2} \)
\(17-4\sqrt{2} \)
\(15+14\sqrt{2} \)
\(19+6\sqrt{2} \)

Zadanie 4. (1 pkt)

Iloczyn \( 2\cdot \log_{\frac{1}{3}}9 \) jest równy
\(-6 \)
\(-4 \)
\(-1 \)
\(1 \)

Zadanie 5. (1 pkt)

Wskaż liczbę, która spełnia równanie \( |3x+1|=4x \).
\(x=-1 \)
\(x=1 \)
\(x=2 \)
\(x=-2 \)

Zadanie 6. (1 pkt)

Liczby \( {x}_{1}, {x}_{2} \) są różnymi rozwiązaniami równania \( 2x^2+3x-7=0 \). Suma \( {x}_{1}+{x}_{2} \) jest równa
\(-\frac{7}{2} \)
\(-\frac{7}{4} \)
\(-\frac{3}{2} \)
\(-\frac{3}{4} \)

Zadanie 7. (1 pkt)

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej \( y = -3(x-7)(x+2) \)
\(x=7, x=-2 \)
\(x=-7, x=-2 \)
\(x=7, x=2 \)
\(x=-7, x=2 \)

Zadanie 8. (1 pkt)

Funkcja liniowa \( f \) jest określona wzorem \( f(x)=ax+6 \), gdzie \( a>0 \). Wówczas spełniony jest warunek
\(f(1)>1 \)
\(f(2)=2 \)
\(f(3)<3 \)
\(f(4)=4 \)

Zadanie 9. (1 pkt)

Wskaż wykres funkcji, która w przedziale \( \langle -4, 4 \rangle \) ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

Zadanie 10. (1 pkt)

Liczba \( \operatorname{tg} 30^\circ -\sin 30^\circ \) jest równa
\(\sqrt{3}-1 \)
\(-\frac{\sqrt{3}}{6} \)
\(\frac{\sqrt{3}-1}{6} \)
\(\frac{2\sqrt{3}-3}{6} \)

Zadanie 11. (1 pkt)

W trójkącie prostokątnym \( ABC \) odcinek \( AB \) jest przeciwprostokątną i \( |AB|=13 \) oraz \( |BC|=12 \) . Wówczas sinus kąta \( ABC \) jest równy.
\(\frac{12}{13} \)
\(\frac{5}{13} \)
\(\frac{5}{12} \)
\(\frac{13}{12} \)

Zadanie 12. (1 pkt)

W trójkącie równoramiennym \( ABC \) dane są \( |AC|=|BC|=5 \) oraz wysokość \( |CD|=2 \). Podstawa \( AB \) tego trójkąta ma długość
\(6 \)
\(2\sqrt{21} \)
\(2\sqrt{29} \)
\(14 \)

Zadanie 13. (1 pkt)

W trójkącie prostokątnym dwa dłuższe boki mają długości \(5\) i \(7\). Obwód tego trójkąta jest równy
\(16\sqrt{6} \)
\(14\sqrt{6} \)
\(12+4\sqrt{6} \)
\(12+2\sqrt{6} \)

Zadanie 14. (1 pkt)

Odcinki \(AB\) i \(CD\) są równoległe i \( |AB|=5, |AC|=2, |CD|=7 \) (zobacz rysunek). Długość odcinka \( AE \) jest równa
\(\frac{10}{7} \)
\(\frac{14}{5} \)
\(3 \)
\(5 \)

Zadanie 15. (1 pkt)

Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu \( 5 \) jest równe
\(25 \)
\(50 \)
\(75 \)
\(100 \)

Zadanie 16. (1 pkt)

Punkty \(A, B, C, D\) dzielą okrąg na \(4\) równe łuki. Miara zaznaczonego na rysunku kąta wpisanego \(ACD\) jest równa
\( 90^\circ \)
\( 60^\circ \)
\( 45^\circ \)
\( 30^\circ \)

Zadanie 17. (1 pkt)

Miary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \( 20^\circ \) . Najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę
\(40^\circ \)
\(50^\circ \)
\(60^\circ \)
\(70^\circ \)

Zadanie 18. (1 pkt)

Dany jest ciąg \( (a_n) \) określony wzorem \( a_n=(-1)^n\cdot \frac{2-n}{n^2} \) dla \( n\ge 1 \). Wówczas wyraz \( a_5 \) tego ciągu jest równy
\(-\frac{3}{25} \)
\(\frac{3}{25} \)
\(-\frac{7}{25} \)
\(\frac{7}{25} \)

Zadanie 19. (1 pkt)

Pole powierzchni jednej ściany sześcianu jest równe \( 4 \). Objętość tego sześcianu jest równa
\(6 \)
\(8 \)
\(24 \)
\(64 \)

Zadanie 20. (1 pkt)

Tworząca stożka ma długość \( 4 \) i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \( 45^\circ \). Wysokość tego stożka jest równa
\(2\sqrt{2} \)
\(16\pi \)
\(4\sqrt{2} \)
\(8\pi \)

Zadanie 21. (1 pkt)

Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu \( 3x-6y+7=0 \)
\(y=\frac{1}{2}x \)
\(y=-\frac{1}{2}x \)
\(y=2x \)
\(y=-2x \)

Zadanie 22. (1 pkt)

Punkt \( A \) ma współrzędne \( (5, 2012) \). Punkt \( B \) jest symetryczny do punktu \( A \) względem osi \( Ox \), a punkt \( C \) jest symetryczny do punktu \( B \) względem osi \( Oy \) . Punkt \( C \) ma współrzędne
\((-5;-2012) \)
\((-2012;-5) \)
\((-5;2012) \)
\((-2012;5) \)

Zadanie 23. (1 pkt)

Na okręgu o równaniu \( (x-2)^2+(y+7)^2=4 \) leży punkt
\(A=(-2,5) \)
\(B=(2,-5) \)
\(C=(2,-7) \)
\(D=(7,-2) \)

Zadanie 24. (1 pkt)

Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne mają być tego samego koloru, a pas znajdujący się między nimi ma być innego koloru. Liczba różnych takich flag, które można uszyć, mając do dyspozycji tkaniny w \( 10 \) kolorach, jest równa
\(100 \)
\(99 \)
\(90 \)
\(19 \)

Zadanie 25. (1 pkt)

Średnia arytmetyczna cen sześciu akcji na giełdzie jest równa \( 500 \) zł. Za pięć z tych akcji zapłacono \( 2300 \) zł. Cena szóstej akcji jest równa
\(400 \) zł
\(500 \) zł
\(600 \) zł
\(700 \) zł

Zadanie 26. (2 pkt)

Rozwiąż nierówność \(x^2 + 8x + 15 > 0\).

Zadanie 27. (2 pkt)

Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste \( a, b, c \) spełniają nierówności \( 0 < a < b < c \), to \( \frac{a+b+c}{3}>\frac{a+b}{2} \).

Zadanie 28. (2 pkt)

Liczby \(x_1 = -4\) i \(x_2 = 3\) są pierwiastkami wielomianu \(W(x) = x^3 + 4x^2 - 9x - 36\). Oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu.

Zadanie 29. (2 pkt)

Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach \(A = (-2,2)\) i \(B = (2,10)\).

Zadanie 30. (2 pkt)

W trójkącie \(ABC\) poprowadzono dwusieczne kątów \(A\) i B\(.\) Dwusieczne te przecinają się w punkcie \(P\). Uzasadnij, że kąt \(APB\) jest rozwarty.

Zadanie 31. (2 pkt)

Ze zbioru liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\), polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez \(6\).

Zadanie 32. (4 pkt)

Ciąg \((9, x, 19)\) jest arytmetyczny, a ciąg \((x, 42, y, z)\) jest geometryczny. Oblicz \(x\), \(y\) oraz \(z\).

Zadanie 33. (4 pkt)

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDEFGH\) przekątna \(AC\) podstawy ma długość \(4\). Kąt \(ACE\) jest równy \(60^\circ\). Oblicz objętość ostrosłupa \(ABCDE\) przedstawionego na poniższym rysunku.

Zadanie 34. (5 pkt)

Miasto \(A\) i miasto \(B\) łączy linia kolejowa długości \(210\) km. Średnia prędkość pociągu pospiesznego na tej trasie jest o \(24\) km/h większa od średniej prędkości pociągu osobowego. Pociąg pospieszny pokonuje tę trasę o \(1\) godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny.