Matura 2012 maj

Arkusz zadań z matury 8 maja 2012

Zadanie . (1 pkt)

Cenę nart obniżono o \(20\%\), a po miesiącu nową cenę obniżono o dalsze \(30\%\). W wyniku obu obniżek cena nart zmniejszyła się o
\(44\% \)
\(50\% \)
\(56\% \)
\(60\% \)

Zadanie . (1 pkt)

Liczba \(\sqrt[3]{{(-8)}^{-1}}\cdot {16}^{\frac{3}{4}}\) jest równa
\( -8 \)
\( -4 \)
\( 2 \)
\( 4 \)
Reklama

Zadanie . (1 pkt)

Liczba \( {(3-\sqrt{2})}^{2}+4(2-\sqrt{2}) \) jest równa
\(19-10\sqrt{2} \)
\(17-4\sqrt{2} \)
\(15+14\sqrt{2} \)
\(19+6\sqrt{2} \)

Zadanie . (1 pkt)

Iloczyn \( 2\cdot \log_{\frac{1}{3}}9 \) jest równy
\(-6 \)
\(-4 \)
\(-1 \)
\(1 \)

Zadanie . (1 pkt)

Wskaż liczbę, która spełnia równanie \( |3x+1|=4x \).
\(x=-1 \)
\(x=1 \)
\(x=2 \)
\(x=-2 \)

Zadanie . (1 pkt)

Liczby \( {x}_{1}, {x}_{2} \) są różnymi rozwiązaniami równania \( 2x^2+3x-7=0 \). Suma \( {x}_{1}+{x}_{2} \) jest równa
\(-\frac{7}{2} \)
\(-\frac{7}{4} \)
\(-\frac{3}{2} \)
\(-\frac{3}{4} \)
Reklama

Zadanie . (1 pkt)

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej \( y = -3(x-7)(x+2) \)
\(x=7, x=-2 \)
\(x=-7, x=-2 \)
\(x=7, x=2 \)
\(x=-7, x=2 \)

Zadanie . (1 pkt)

Funkcja liniowa \( f \) jest określona wzorem \( f(x)=ax+6 \), gdzie \( a>0 \). Wówczas spełniony jest warunek
\(f(1)>1 \)
\(f(2)=2 \)
\(f(3)\lt 3 \)
\(f(4)=4 \)

Zadanie . (1 pkt)

Wskaż wykres funkcji, która w przedziale \( \langle -4, 4 \rangle \) ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

Zadanie . (1 pkt)

Liczba \( \operatorname{tg} 30^\circ -\sin 30^\circ \) jest równa
\(\sqrt{3}-1 \)
\(-\frac{\sqrt{3}}{6} \)
\(\frac{\sqrt{3}-1}{6} \)
\(\frac{2\sqrt{3}-3}{6} \)

Zadanie . (1 pkt)

W trójkącie prostokątnym \( ABC \) odcinek \( AB \) jest przeciwprostokątną i \( |AB|=13 \) oraz \( |BC|=12 \) . Wówczas sinus kąta \( ABC \) jest równy.
\(\frac{12}{13} \)
\(\frac{5}{13} \)
\(\frac{5}{12} \)
\(\frac{13}{12} \)
Reklama

Zadanie . (1 pkt)

W trójkącie równoramiennym \( ABC \) dane są \( |AC|=|BC|=5 \) oraz wysokość \( |CD|=2 \). Podstawa \( AB \) tego trójkąta ma długość
\(6 \)
\(2\sqrt{21} \)
\(2\sqrt{29} \)
\(14 \)

Zadanie . (1 pkt)

W trójkącie prostokątnym dwa dłuższe boki mają długości \(5\) i \(7\). Obwód tego trójkąta jest równy
\(16\sqrt{6} \)
\(14\sqrt{6} \)
\(12+4\sqrt{6} \)
\(12+2\sqrt{6} \)

Zadanie . (1 pkt)

Odcinki \(AB\) i \(CD\) są równoległe i \( |AB|=5, |AC|=2, |CD|=7 \) (zobacz rysunek). Długość odcinka \( AE \) jest równa
\(\frac{10}{7} \)
\(\frac{14}{5} \)
\(3 \)
\(5 \)

Zadanie . (1 pkt)

Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu \( 5 \) jest równe
\(25 \)
\(50 \)
\(75 \)
\(100 \)

Zadanie . (1 pkt)

Punkty \(A, B, C, D\) dzielą okrąg na \(4\) równe łuki. Miara zaznaczonego na rysunku kąta wpisanego \(ACD\) jest równa
\( 90^\circ \)
\( 60^\circ \)
\( 45^\circ \)
\( 30^\circ \)

Zadanie . (1 pkt)

Miary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \( 20^\circ \) . Najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę
\(40^\circ \)
\(50^\circ \)
\(60^\circ \)
\(70^\circ \)

Zadanie . (1 pkt)

Dany jest ciąg \( (a_n) \) określony wzorem \( a_n=(-1)^n\cdot \frac{2-n}{n^2} \) dla \( n\ge 1 \). Wówczas wyraz \( a_5 \) tego ciągu jest równy
\(-\frac{3}{25} \)
\(\frac{3}{25} \)
\(-\frac{7}{25} \)
\(\frac{7}{25} \)

Zadanie . (1 pkt)

Pole powierzchni jednej ściany sześcianu jest równe \( 4 \). Objętość tego sześcianu jest równa
\(6 \)
\(8 \)
\(24 \)
\(64 \)

Zadanie . (1 pkt)

Tworząca stożka ma długość \( 4 \) i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \( 45^\circ \). Wysokość tego stożka jest równa
\(2\sqrt{2} \)
\(16\pi \)
\(4\sqrt{2} \)
\(8\pi \)

Zadanie . (1 pkt)

Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu \( 3x-6y+7=0 \)
\(y=\frac{1}{2}x \)
\(y=-\frac{1}{2}x \)
\(y=2x \)
\(y=-2x \)

Zadanie . (1 pkt)

Punkt \( A \) ma współrzędne \( (5, 2012) \). Punkt \( B \) jest symetryczny do punktu \( A \) względem osi \( Ox \), a punkt \( C \) jest symetryczny do punktu \( B \) względem osi \( Oy \) . Punkt \( C \) ma współrzędne
\((-5;-2012) \)
\((-2012;-5) \)
\((-5;2012) \)
\((-2012;5) \)

Zadanie . (1 pkt)

Na okręgu o równaniu \( (x-2)^2+(y+7)^2=4 \) leży punkt
\(A=(-2,5) \)
\(B=(2,-5) \)
\(C=(2,-7) \)
\(D=(7,-2) \)

Zadanie . (1 pkt)

Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne mają być tego samego koloru, a pas znajdujący się między nimi ma być innego koloru. Liczba różnych takich flag, które można uszyć, mając do dyspozycji tkaniny w \( 10 \) kolorach, jest równa
\(100 \)
\(99 \)
\(90 \)
\(19 \)

Zadanie . (1 pkt)

Średnia arytmetyczna cen sześciu akcji na giełdzie jest równa \( 500 \) zł. Za pięć z tych akcji zapłacono \( 2300 \) zł. Cena szóstej akcji jest równa
\(400 \) zł
\(500 \) zł
\(600 \) zł
\(700 \) zł

Zadanie . (2 pkt)

Rozwiąż nierówność \(x^2 + 8x + 15 > 0\).

Zadanie . (2 pkt)

Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste \( a, b, c \) spełniają nierówności \( 0 \lt a \lt b \lt c \), to \( \frac{a+b+c}{3}>\frac{a+b}{2} \).

Zadanie . (2 pkt)

Liczby \(x_1 = -4\) i \(x_2 = 3\) są pierwiastkami wielomianu \(W(x) = x^3 + 4x^2 - 9x - 36\). Oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu.

Zadanie . (2 pkt)

Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach \(A = (-2,2)\) i \(B = (2,10)\).

Zadanie . (2 pkt)

W trójkącie \(ABC\) poprowadzono dwusieczne kątów \(A\) i \(B\). Dwusieczne te przecinają się w punkcie \(P\). Uzasadnij, że kąt \(APB\) jest rozwarty.

Zadanie . (2 pkt)

Ze zbioru liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\), polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez \(6\).

Zadanie . (4 pkt)

Ciąg \((9, x, 19)\) jest arytmetyczny, a ciąg \((x, 42, y, z)\) jest geometryczny. Oblicz \(x\), \(y\) oraz \(z\).

Zadanie . (4 pkt)

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDEFGH\) przekątna \(AC\) podstawy ma długość \(4\). Kąt \(ACE\) jest równy \(60^\circ\). Oblicz objętość ostrosłupa \(ABCDE\) przedstawionego na poniższym rysunku.

Zadanie . (5 pkt)

Miasto \(A\) i miasto \(B\) łączy linia kolejowa długości \(210\) km. Średnia prędkość pociągu pospiesznego na tej trasie jest o \(24\) km/h większa od średniej prędkości pociągu osobowego. Pociąg pospieszny pokonuje tę trasę o \(1\) godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny.