W dziale poświęconym
wyrażeniom algebraicznym zdefiniowaliśmy
jednomian jako iloczyn liczby i liter (zmiennych). W tym rozdziale będziemy nazywali jednomianem iloczyn liczby i jednej litery (najczęściej \(x\)).
Definicja
Jednomian stopnia \(n\) - to funkcja postaci: \[y=ax^n\] gdzie \(a\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\), \(n\in \mathbb{N}_+\).
Liczbę \(a\) nazywamy współczynnikiem jednomianu.
Liczbę \(n\) nazywamy stopniem jednomianu.
Przykłady jednomianów z określonym stopniem i współczynnikiem liczbowym:
| Jednomian | Współczynnik | Stopień |
| \(y=5x\) | \(5\) | \(1\) |
| \(y=-\frac{3}{7}x^2\) | \(-\frac{3}{7}\) | \(2\) |
| \(y=3x^5\) | \(3\) | \(5\) |
| \(y=-x^{13}\) | \(-1\) | \(13\) |
| \(y=x^6\) | \(1\) | \(6\) |
| \(y=\sqrt{2}x^4\) | \(\sqrt{2}\) | \(4\) |
Funkcję \(y=a\), gdzie \(a\ne 0\) nazywamy
jednomianem stopnia zero.
Funkcję \(y=0\) nazywamy jednomianem zerowym.
Dwumian - to suma dwóch jednomianów o różnych stopniach.
Przykład dwumianu drugiego stopnia: \[y=x^2+5x\] Przykład dwumianu trzeciego stopnia: \[y=\frac{1}{2}x^3-x\] Przykład dwumianu piątego stopnia: \[y=-x^5+2x^2\]
Trójmian - to suma trzech jednomianów o różnych stopniach.
Przykład trójmianu drugiego stopnia: \[y=x^2+5x+1\] Przykład trójmianu trzeciego stopnia: \[y=\frac{1}{2}x^3-x^2+5x\] Przykład trójmianu piątego stopnia: \[y=-7x^5+2x^4-x^3\]
Ogólnie sumę jednomianów nazywamy
wielomianem. Dwumian i trójmian także są wielomianami.
Definicja
Wielomianem stopnia \(n\) zmiennej \(x\) nazywamy wyrażenie postaci: \[w(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0\] gdzie:
\(a_{n}, a_{n-1},...,a_2,a_1,a_0\) - to
współczynniki liczbowe wielomianu,
\(n \in \mathbb{N}_+\) oraz \( a_{n}\neq 0 \).
Jednomiany występujące we wzorze wielomianu nazywamy jego wyrazami.
Oto przykłady wielomianów zmiennej \(x\):
\(w(x)=3x-5\)
\(w(x)=-x^2+5x-1\)
\(w(x)=x^3-7x-1\)
\(w(x)=x^6-2x^5+3x^4-4x^3-9\)
Wielomiany oznaczamy zazwyczaj za pomocą litery \(W\) (małej lub dużej). Innymi często stosowanymi literkami są również: \(P\), \(Q\), \(R\) (również w wersji małej lub dużej).
Wielomian możemy także zapisać za pomocą tradycyjnej litery \(f\), np: \[f(x)=x^6-2x^5+3x^4-4x^3-9\] W końcu wielomian, to też funkcja.
Oto kilka wielomianów zapisanych za pomocą różnych liter:
- \(W(x)=3x-5\)
- \(w(x)=-x^2+5x-1\)
- \(P(x)=x^2-1\)
- \(f(x)=x^3-7x-1\)
Funkcję \(w(x)=a\), gdzie \(a\ne 0\) nazywamy
wielomianem stopnia zero.
Funkcję \(w(x)=0\) nazywamy wielomianem zerowym.