Jesteś tu: Działy tematyczneFunkcja kwadratowaWykres funkcji kwadratowej

Wykres funkcji kwadratowej

Wzór ogólny funkcji kwadratowej jest postaci: \[f(x)=ax^2+bx+c\] gdzie literki \(a\), \(b\) oraz \(c\) są współczynnikami liczbowymi.
Wykresem każdej funkcji kwadratowej jest parabola.
Wykres funkcji \[f(x)=x^2\] wygląda następująco: Metodą tabelki możemy wyliczyć kilka punktów należących do tej paraboli:
\(x\)\(-2\)\(-1\)\(0\)\(1\)\(2\)
\(f(x)=x^2\)\(4\)\(1\)\(0\)\(1\)\(4\)
Dla funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2\) współczynniki liczbowe \(a\), \(b\) oraz \(c\) mają wartości: \[\begin{split} &a=1\\[6pt] &b=0\\[6pt] &c=0 \end{split}\]
Ramiona paraboli są skierowane do góry ponieważ współczynnik \(a\) jest dodatni.
Wierzchołek tej paraboli jest w punkcie \((0, 0)\).
Wykres funkcji \[f(x)=-x^2\] wygląda następująco: Metodą tabelki możemy wyliczyć kilka punktów należących do tej paraboli:
\(x\)\(-2\)\(-1\)\(0\)\(1\)\(2\)
\(f(x)=-x^2\)\(-4\)\(-1\)\(0\)\(-1\)\(-4\)
Dla funkcji kwadratowej \(f(x)=-x^2\) współczynniki liczbowe \(a\), \(b\) oraz \(c\) mają wartości: \[\begin{split} &a=-1\\[6pt] &b=0\\[6pt] &c=0 \end{split}\]
Ramiona paraboli są skierowane w dół ponieważ współczynnik \(a\) jest ujemny.
Wierzchołek tej paraboli jest w punkcie \((0, 0)\).
Każda parabola ma wierzchołek oraz dwa ramiona.
Żeby narysować dokładny wykres funkcji kwadratowej, to trzeba wcześniej:
  • ustalić w którą stronę skierowane są ramiona paraboli.
    Jeżeli \(a \gt 0\) to do góry, a jeżeli \(a \lt 0\) to do dołu.
  • obliczyć (o ile istnieją) miejsca zerowe funkcji: \[\begin{split} &x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\\[6pt] &x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a} \end{split}\] gdzie \(\Delta =b^2-4ac\).
  • obliczyć wierzchołek paraboli \(W=(p,q)\): \[\begin{split} p&=\frac{-b}{2a}\\[6pt]q&=\frac{-\Delta }{4a} \end{split}\]
  • obliczyć punkt przecięcia z osią \(y\)-ów.
    Punkt ten ma współrzędne: \((0, f(0))\), czyli \((0,c)\).
Narysuj wykres funkcji kwadratowej \(f(x) = x^2 - 2x - 8\) i omów jej własności.
Współczynniki liczbowe tej funkcji kwadratowej, to: \[\begin{split} &a=1\\[6pt] &b=-2\\[6pt] &c=-8 \end{split}\]
Współczynnik \(a\) jest dodatni czyli ramiona paraboli są skierowane do góry.
Liczymy miejsca zerowe: \[\Delta =b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-8)=4+32=36\] \[\begin{split} &x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{2-6}{2}=-2\\[6pt] &x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{2+6}{2}=4 \end{split}\]
Liczymy współrzędne wierzchołka: \[\begin{split} &p=\frac{-b}{2a}=\frac{2}{2}=1\\[6pt] &q=\frac{-\Delta }{4a}=\frac{-36}{4}=-9 \end{split}\] Czyli wierzchołek paraboli jest w punkcie \(W=(1,-9)\).
Liczymy punkt przecięcia paraboli z osią \(y\)-ów: \[f(0)=c=-8\] Czyli punkt przecięcia paraboli z osią \(y\)-ów ma współrzędne \((0,-8)\).
Zaznaczamy w układzie współrzędnych wyliczone punkty i rysujemy wykres:
Teraz omówimy własności tej funkcji.
  • Dziedzina: \(\mathbb{R}\).
  • Zbiór wartości: \(\langle -9;+\infty )\).
  • Miejsca zerowe: funkcja ma dwa miejsca zerowe: \(x_1 = -2\) oraz \(x_2 = 4\).
  • Funkcja przyjmuje wartości dodatnie, gdy \(x\in (-\infty ; -2) \cup (4 +\infty )\).
  • Funkcja przyjmuje wartości ujemne, gdy \(x\in (-2; 4)\).
  • Punkt przecięcia z osią y-ów ma współrzędne: \((0, -8)\).
  • Monotoniczność: funkcja jest niemonotoniczna (jest jedynie monotoniczna przedziałami).
  • Różnowartościowość: funkcja nie jest różnowartościowa.
  • Parzystość: funkcja nie jest parzysta.
  • Nieparzystość: funkcja nie jest nieparzysta.
Wykres dowolnej funkcji, to możesz narysować za pomocą programu do rysowania wykresów.
Rozwiązywanie wielu zadań z funkcji kwadratowej wymaga narysowania wykresu paraboli.
Dana jest parabola o równaniu \(y=x^2+8x-14\). Pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa
\( x=-8 \)
\( x=-4 \)
\( x=4 \)
\( x=8 \)
B
Wskaż fragment wykresu funkcji kwadratowej, której zbiorem wartości jest \(\langle -2,+\infty )\).
B
Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji \(y=x^2+2x-3\). Wskaż ten rysunek.
A
Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji określonej wzorem \(f(x)=x^2-4x+4\) jest punkt o współrzędnych
\( (0,2) \)
\( (0,-2) \)
\( (-2,0) \)
\( (2,0) \)
D
Miejscem zerowym funkcji kwadratowej \(y=-(-x-7)(1+x)\) jest
\( x=7 \)
\( x=1 \)
\( x=0 \)
\( x=-1 \)
D
Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=-3x^2+3\) jest parabola o wierzchołku w punkcie
\( (3,0) \)
\( (0,3) \)
\( (-3,0) \)
\( (0,-3) \)
B
Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej \( y = -3(x-7)(x+2) \)
\(x=7, x=-2 \)
\(x=-7, x=-2 \)
\(x=7, x=2 \)
\(x=-7, x=2 \)
A
Liczby \(x_1, x_2\) są rozwiązaniami równania \(4(x + 2)(x - 6) = 0\) . Suma \({x_1}^2 + {x_2}^2\) jest równa
\( 16 \)
\( 32 \)
\( 40 \)
\( 48 \)
C
Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział \( (-\infty ;3 \rangle \).
\(f(x)=-(x-2)^2+3 \)
\(f(x)=(2-x)^2+3 \)
\(f(x)=-(x+2)^2-3 \)
\(f(x)=(2-x)^2-3 \)
A
Wykres funkcji kwadratowej \( f(x)=3(x+1)^2-4 \) nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu
\(y=1 \)
\(y=-1 \)
\(y=-3 \)
\(y=-5 \)
D
Prosta o równaniu \( y=a \) ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej \( f(x)=-x^2+6x-10 \). Wynika stąd, że
\(a=3 \)
\(a=0 \)
\(a=-1 \)
\(a=-3 \)
C
Jaka jest najmniejsza wartość funkcji kwadratowej \( f(x)=x^2+4x-3 \) w przedziale \( \langle 0, 3 \rangle \)?
\(-7 \)
\(-4 \)
\(-3 \)
\(-2 \)
C
Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział \(\langle-2, \infty )\).
\( y=-2x^2+2 \)
\( y=-(x+1)^2-2 \)
\( y=2(x-1)^2+2 \)
\( y=(x+1)^2-2 \)
D
Wskaż zbiór wartości funkcji \(f(x)=(x-3)^2+2\)
\( \langle -2, \infty ) \)
\( \langle 2, \infty ) \)
\( \langle -3, \infty ) \)
\( \langle 3, \infty ) \)
B
Wskaż zbiór wartości funkcji \(f(x)=-(x+3)^2-5\)
\( \langle -5, \infty ) \)
\( \langle 5, \infty ) \)
\( (-\infty , -5 \rangle \)
\( (-\infty , 5 \rangle \)
C
Oblicz największą wartość funkcji \(f(x)=-2x^2+16x-15\) w przedziale \(\langle -2,3 \rangle\).
\(15\)
Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x+1\) w przedziale \(\langle 0,1 \rangle\).
\(-4\)
Funkcja kwadratowa \(f(x)=-2(x-5)(x+1)\) jest malejąca w zbiorze
\((-1,5)\)
\( ( -\infty ,2 \rangle \)
\(\langle 2,+\infty )\)
\((-\infty ,-1)\cup (5,+\infty )\)
C
Wierzchołkiem paraboli o równaniu \(y=-3(x-2)^2+4\) jest punkt o współrzędnych
\( (-2, -4) \)
\( (-2, 4) \)
\( (2, -4) \)
\( (2, 4) \)
D
Wierzchołek paraboli o równaniu \(y=(x+1)^2+2c\) leży na prostej o równaniu \(y=6\). Wtedy
\( c=-6 \)
\( c=-3 \)
\( c=3 \)
\( c=6 \)
C
Na wykresie przedstawiony jest trójmian \(y = ax^2 + bx + c\). Wynika z tego, że:
\( b\lt 0 \)
\( b>0 \)
\( b\le 0 \)
\( b\ge 0 \)
B
Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji \( y=x^2 -2x-3 \) leży na prostej:
\(y=-4 \)
\(y=4 \)
\(y=1 \)
\(y=2 \)
A
Rysunek obok przedstawia wykres funkcji kwadratowej \( f \). Zapisz wzór funkcji \( f \) w postaci ogólnej i podaj jej zbiór wartości.

\(f(x)=-x^2-2x+3\)
\(ZW=(-\infty ;4\rangle \)
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \( f \). Funkcja \( f \) określona jest wzorem
\(f(x)=-\frac{1}{2}(x-3)(x+1) \)
\(f(x)=\frac{1}{2}(x-3)(x+1) \)
\(f(x)=-\frac{1}{2}(x+3)(x-1) \)
\(f(x)=\frac{1}{2}(x+3)(x-1) \)
A
Wykresem funkcji kwadratowej \( f(x)=2x^2+bx+c \) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt \( W=(4,0) \). Oblicz wartości współczynników \( b \) i \( c \).
\(b=-16\), \(c=32\)
Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej, określonej wzorem \( f(x)=(x-2)(x+4) \) .
D
Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział \( ( -\infty, -3\rangle \) , może być określona wzorem
\(y=(x+2)^2-3 \)
\(y=-(x+3)^2 \)
\(y=-(x-2)^2-3 \)
\(y=-x^2+3 \)
C
W układzie współrzędnych narysowano część paraboli o wierzchołku w punkcie \( A=(2, 4) \), która jest wykresem funkcji kwadratowej \( f \). Funkcja \( f \) może być opisana wzorem
\(f(x)=(x-2)^2+4 \)
\(f(x)=(x+2)^2+4 \)
\(f(x)=-(x-2)^2+4 \)
\(f(x)=-(x+2)^2+4 \)
C
Parabola o wierzchołku \(W = (−3, 5)\) i ramionach skierowanych w dół może być wykresem funkcji określonej wzorem
\( y=2\cdot (x+3)^2+5 \)
\( y=-2\cdot (x-3)^2+5 \)
\( y=-2\cdot (x+3)^2+5 \)
\( y=-2\cdot (x-3)^2-5 \)
C