Wykres funkcji kwadratowej

Wzór ogólny funkcji kwadratowej jest postaci:
f(x) = ax2 + bx + c
gdzie literki a, b oraz c są współczynnikami liczbowymi.
Wykres każdej funkcji kwadratowej jest nazywany parabolą.
Oto przykładowe wykresy: wykres funkcji f(x) = x^2 Obie funkcje, których wykresy widać na powyższym rysunku mają współczynniki b = 0 oraz c = 0.
Ramiona pierwszej paraboli skierowane są do góry, ponieważ jej współczynnik a jest dodatni (a = 1).
W sytuacji gdy a < 0, to ramiona paraboli skierowane są w dół (tak jak na drugim wykresie, gdzie a = -1).
Obie parabole na powyższym rysunku mają wierzchołek w punkcie (0, 0).
Pojęcie wierzchołka oraz ramion paraboli wyjaśnia poniższy rysunek: wykres funkcji f(x) = x^2-2x-8
Teraz omówimy własności przykładowej funkcji kwadratowej f(x) = x2 - 2x - 8 (wykres funkcji powyżej).
  • Dziedzina: D = R.
  • Zbiór wartości: ZW = ⟨-9; +∞).
  • Miejsca zerowe: funkcja ma dwa miejsca zerowe: x1 = -2 oraz x2 = 4.
  • Funkcja przyjmuje wartości dodatnie, gdy x∈(-∞; -2) ∪ (4 +∞).
  • Funkcja przyjmuje wartości ujemne, gdy x∈(-2; 4).
  • Punkt przecięcia z osią y-ów ma współrzędne: (0, -8).
  • Monotoniczność: funkcja jest niemonotoniczna (jest jedynie monotoniczna przedziałami).
  • Różnowartościowość: funkcja nie jest różnowartościowa.
  • Parzystość: funkcja nie jest parzysta.
  • Nieparzystość: funkcja nie jest nieparzysta.

Aby narysować dokładny wykres funkcji kwadratowej (z którego będzie można potem odczytać wszystkie jej własności) należy wcześniej ustalić:
  • W którą stronę skierowane są ramiona paraboli.
    Jeżeli a > 0 to do góry, a jeżeli a < 0 to do dołu.
  • Miejsca zerowe funkcji.
    W tym celu należy rozwiązać równanie: wzór funkcji = 0 Jest to równanie kwadratowe, które rozwiązujemy metodami opisanymi tutaj.
  • Wierzchołek paraboli.
    Współrzędne wierzchołka paraboli W = (p, q) można obliczyć ze wzorów:
  • Punkt przecięcia z osią y-ów.
    Punkt ten ma współrzędne: (0; f(0))

Jeżeli chcesz sprawdzić jak powinien wyglądać wykres dowolnej funkcji, to możesz skorzystać z programu do rysowania wykresów.
Rozwiązywanie wielu zadań z funkcji kwadratowej wymaga narysowania wykresu paraboli.

Zadanie 1.

Dana jest parabola o równaniu \(y=x^2+8x-14\). Pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa
\( x=-8 \) \( x=-4 \) \( x=4 \) \( x=8 \)

Zadanie 2.

Wskaż fragment wykresu funkcji kwadratowej, której zbiorem wartości jest \(\langle -2,+\infty )\).

Zadanie 3.

Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji \(y=x^2+2x-3\). Wskaż ten rysunek.

Zadanie 4.

Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji określonej wzorem \(f(x)=x^2-4x+4\) jest punkt o współrzędnych
\( (0,2) \) \( (0,-2) \) \( (-2,0) \) \( (2,0) \)

Zadanie 5.

Miejscem zerowym funkcji kwadratowej \(y=-(-x-7)(1+x)\) jest
\( x=7 \) \( x=1 \) \( x=0 \) \( x=-1 \)

Zadanie 6.

Wykresem funkcji kwadratowej f(x) = -3x2 + 3 jest parabola o wierzchołku w punkcie

Zadanie 7.

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej y = -3(x - 7)(x + 2)
A. x = 7, x = -2
B. x = -7, x = -2
C. x = 7, x = 2
D. x = -7, x = 2

Zadanie 8.

Liczby x1, x2 są rozwiązaniami równania 4(x + 2)(x - 6) = 0. Suma x12 + x22 jest równa

Zadanie 9.

Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział (-∞, 3⟩ .
A. f(x)=-(x-2)2+3
B. f(x)=(2-x)2+3
C. f(x)=-(x+2)2-3
D. f(x)=(2-x)2-3

Zadanie 10.

Wykres funkcji kwadratowej f(x) = 3(x + 1)2 - 4 nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu
A. y = 1
B. y = -1
C. y = -3
D. y = -5

Zadanie 11.

Prosta o równaniu y = a ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej f(x) = -x2 + 6x - 10 . Wynika stąd, że
A. a = 3
B. a = 0
C. a = -1
D. a = -3

Zadanie 12.

Jak jest najmniejsza wartość funkcji kwadratowej f(x) = x2 + 4x - 3 w przedziale ⟨0, 3⟩ ?
A. -7
B. -4
C. -3
D. -2

Zadanie 13.

Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział \(\langle-2, \infty )\).
\( y=-2x^2+2 \) \( y=-(x+1)^2-2 \) \( y=2(x-1)^2+2 \) \( y=(x+1)^2-2 \)

Zadanie 14.

Wskaż zbiór wartości funkcji \(f(x)=(x-3)^2+2\)
\( \langle -2, \infty ) \) \( \langle 2, \infty ) \) \( \langle -3, \infty ) \) \( \langle 3, \infty ) \)

Zadanie 15.

Wskaż zbiór wartości funkcji \(f(x)=-(x+3)^2-5\)
\( \langle -5, \infty ) \) \( \langle 5, \infty ) \) \( (-\infty , -5 \rangle \) \( (-\infty , 5 \rangle \)

Zadanie 16.

Oblicz największą wartość funkcji \(f(x)=-2x^2+16x-15\) w przedziale \(\langle -2,3 \rangle\).

Zadanie 17.

Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x+1\) w przedziale \(\langle 0,1 \rangle\).

Zadanie 18.

Funkcja kwadratowa \(f(x)=-2(x-5)(x+1)\) jest malejąca w zbiorze
A. \((-1,5)\) B. \( ( -\infty ,2 \rangle \) C. \(\langle 2,+\infty )\) D. \((-\infty ,-1)\cup (5,+\infty )\)

Zadanie 19.

Wierzchołkiem paraboli o równaniu y = -3(x - 2)2 + 4 jest punkt o współrzędnych

Zadanie 20.

Wierzchołek paraboli o równaniu y = (x + 1)2 + 2c leży na prostej o równaniu y = 6. Wtedy

Zadanie 21.

Na wykresie przedstawiony jest trójmian y = ax2 + bx + c. Wynika z tego, że:

Zadanie 22.

Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji leży na prostej:
 
 
 

Zadanie 23.

Rysunek obok przedstawia wykres funkcji kwadratowej f. Zapisz wzór funkcji f w postaci ogólnej i podaj jej zbiór wartości.

Zadanie 24.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f. Funkcja f określona jest wzorem

Zadanie 25.

Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=2x2+bx+c jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W=(4,0) . Oblicz wartości współczynników b i c.

Zadanie 26.

Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej, określonej wzorem .

Zadanie 27.

Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział , może być określona wzorem
A.
B.
C.
D.