Wykres funkcji kwadratowej

Wzór ogólny funkcji kwadratowej jest postaci:
f(x) = ax2 + bx + c
gdzie literki a, b oraz c są współczynnikami liczbowymi.
Wykres każdej funkcji kwadratowej jest nazywany parabolą.
Oto przykładowe wykresy: wykres funkcji f(x) = x^2 Obie funkcje, których wykresy widać na powyższym rysunku mają współczynniki b = 0 oraz c = 0.
Ramiona pierwszej paraboli skierowane są do góry, ponieważ jej współczynnik a jest dodatni (a = 1).
W sytuacji gdy a < 0, to ramiona paraboli skierowane są w dół (tak jak na drugim wykresie, gdzie a = -1).
Obie parabole na powyższym rysunku mają wierzchołek w punkcie (0, 0).
Pojęcie wierzchołka oraz ramion paraboli wyjaśnia poniższy rysunek: wykres funkcji f(x) = x^2-2x-8
Teraz omówimy własności przykładowej funkcji kwadratowej f(x) = x2 - 2x - 8 (wykres funkcji powyżej).
  • Dziedzina: D = R.
  • Zbiór wartości: ZW = ⟨-9; +∞).
  • Miejsca zerowe: funkcja ma dwa miejsca zerowe: x1 = -2 oraz x2 = 4.
  • Funkcja przyjmuje wartości dodatnie, gdy x∈(-∞; -2) ∪ (4 +∞).
  • Funkcja przyjmuje wartości ujemne, gdy x∈(-2; 4).
  • Punkt przecięcia z osią y-ów ma współrzędne: (0, -8).
  • Monotoniczność: funkcja jest niemonotoniczna (jest jedynie monotoniczna przedziałami).
  • Różnowartościowość: funkcja nie jest różnowartościowa.
  • Parzystość: funkcja nie jest parzysta.
  • Nieparzystość: funkcja nie jest nieparzysta.

Aby narysować dokładny wykres funkcji kwadratowej (z którego będzie można potem odczytać wszystkie jej własności) należy wcześniej ustalić:
  • W którą stronę skierowane są ramiona paraboli.
    Jeżeli a > 0 to do góry, a jeżeli a < 0 to do dołu.
  • Miejsca zerowe funkcji.
    W tym celu należy rozwiązać równanie: wzór funkcji = 0 Jest to równanie kwadratowe, które rozwiązujemy metodami opisanymi tutaj.
  • Wierzchołek paraboli.
    Współrzędne wierzchołka paraboli W = (p, q) można obliczyć ze wzorów:
  • Punkt przecięcia z osią y-ów.
    Punkt ten ma współrzędne: (0; f(0))

Jeżeli chcesz sprawdzić jak powinien wyglądać wykres dowolnej funkcji, to możesz skorzystać z programu do rysowania wykresów.
Rozwiązywanie wielu zadań z funkcji kwadratowej wymaga narysowania wykresu paraboli.

Zadanie .

Dana jest parabola o równaniu \(y=x^2+8x-14\). Pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa
\( x=-8 \)
\( x=-4 \)
\( x=4 \)
\( x=8 \)

Zadanie .

Wskaż fragment wykresu funkcji kwadratowej, której zbiorem wartości jest \(\langle -2,+\infty )\).

Zadanie .

Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji \(y=x^2+2x-3\). Wskaż ten rysunek.

Zadanie .

Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji określonej wzorem \(f(x)=x^2-4x+4\) jest punkt o współrzędnych
\( (0,2) \)
\( (0,-2) \)
\( (-2,0) \)
\( (2,0) \)

Zadanie .

Miejscem zerowym funkcji kwadratowej \(y=-(-x-7)(1+x)\) jest
\( x=7 \)
\( x=1 \)
\( x=0 \)
\( x=-1 \)

Zadanie .

Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=-3x^2+3\) jest parabola o wierzchołku w punkcie
\( (3,0) \)
\( (0,3) \)
\( (-3,0) \)
\( (0,-3) \)

Zadanie .

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej \( y = -3(x-7)(x+2) \)
\(x=7, x=-2 \)
\(x=-7, x=-2 \)
\(x=7, x=2 \)
\(x=-7, x=2 \)

Zadanie .

Liczby \(x_1, x_2\) są rozwiązaniami równania \(4(x + 2)(x - 6) = 0\) . Suma \({x_1}^2 + {x_2}^2\) jest równa
\( 16 \)
\( 32 \)
\( 40 \)
\( 48 \)

Zadanie .

Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział \( (-\infty ;3 \rangle \).
\(f(x)=-(x-2)^2+3 \)
\(f(x)=(2-x)^2+3 \)
\(f(x)=-(x+2)^2-3 \)
\(f(x)=(2-x)^2-3 \)

Zadanie .

Wykres funkcji kwadratowej \( f(x)=3(x+1)^2-4 \) nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu
\(y=1 \)
\(y=-1 \)
\(y=-3 \)
\(y=-5 \)

Zadanie .

Prosta o równaniu \( y=a \) ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej \( f(x)=-x^2+6x-10 \). Wynika stąd, że
\(a=3 \)
\(a=0 \)
\(a=-1 \)
\(a=-3 \)

Zadanie .

Jaka jest najmniejsza wartość funkcji kwadratowej \( f(x)=x^2+4x-3 \) w przedziale \( \langle 0, 3 \rangle \)?
\(-7 \)
\(-4 \)
\(-3 \)
\(-2 \)

Zadanie .

Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział \(\langle-2, \infty )\).
\( y=-2x^2+2 \)
\( y=-(x+1)^2-2 \)
\( y=2(x-1)^2+2 \)
\( y=(x+1)^2-2 \)

Zadanie .

Wskaż zbiór wartości funkcji \(f(x)=(x-3)^2+2\)
\( \langle -2, \infty ) \)
\( \langle 2, \infty ) \)
\( \langle -3, \infty ) \)
\( \langle 3, \infty ) \)

Zadanie .

Wskaż zbiór wartości funkcji \(f(x)=-(x+3)^2-5\)
\( \langle -5, \infty ) \)
\( \langle 5, \infty ) \)
\( (-\infty , -5 \rangle \)
\( (-\infty , 5 \rangle \)

Zadanie .

Oblicz największą wartość funkcji \(f(x)=-2x^2+16x-15\) w przedziale \(\langle -2,3 \rangle\).

Zadanie .

Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x+1\) w przedziale \(\langle 0,1 \rangle\).

Zadanie .

Funkcja kwadratowa \(f(x)=-2(x-5)(x+1)\) jest malejąca w zbiorze
\((-1,5)\)
\( ( -\infty ,2 \rangle \)
\(\langle 2,+\infty )\)
\((-\infty ,-1)\cup (5,+\infty )\)

Zadanie .

Wierzchołkiem paraboli o równaniu \(y=-3(x-2)^2+4\) jest punkt o współrzędnych
\( (-2, -4) \)
\( (-2, 4) \)
\( (2, -4) \)
\( (2, 4) \)

Zadanie .

Wierzchołek paraboli o równaniu \(y=(x+1)^2+2c\) leży na prostej o równaniu \(y=6\). Wtedy
\( c=-6 \)
\( c=-3 \)
\( c=3 \)
\( c=6 \)

Zadanie .

Na wykresie przedstawiony jest trójmian \(y = ax^2 + bx + c\). Wynika z tego, że:
\( b\lt 0 \)
\( b>0 \)
\( b\le 0 \)
\( b\ge 0 \)

Zadanie .

Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji \( y=x^2 -2x-3 \) leży na prostej:
\(y=-4 \)
\(y=4 \)
\(y=1 \)
\(y=2 \)

Zadanie .

Rysunek obok przedstawia wykres funkcji kwadratowej \( f \). Zapisz wzór funkcji \( f \) w postaci ogólnej i podaj jej zbiór wartości.

Zadanie .

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \( f \). Funkcja \( f \) określona jest wzorem
\(f(x)=-\frac{1}{2}(x-3)(x+1) \)
\(f(x)=\frac{1}{2}(x-3)(x+1) \)
\(f(x)=-\frac{1}{2}(x+3)(x-1) \)
\(f(x)=\frac{1}{2}(x+3)(x-1) \)

Zadanie .

Wykresem funkcji kwadratowej \( f(x)=2x^2+bx+c \) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt \( W=(4,0) \). Oblicz wartości współczynników \( b \) i \( c \).

Zadanie .

Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej, określonej wzorem \( f(x)=(x-2)(x+4) \) .

Zadanie .

Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział \( ( -\infty, -3\rangle \) , może być określona wzorem
\(y=(x+2)^2-3 \)
\(y=-(x+3)^2 \)
\(y=-(x-2)^2-3 \)
\(y=-x^2+3 \)

Zadanie .

W układzie współrzędnych narysowano część paraboli o wierzchołku w punkcie \( A=(2, 4) \), która jest wykresem funkcji kwadratowej \( f \). [obrazek] Funkcja \( f \) może być opisana wzorem
\(f(x)=(x-2)^2+4 \)
\(f(x)=(x+2)^2+4 \)
\(f(x)=-(x-2)^2+4 \)
\(f(x)=-(x+2)^2+4 \)