Jesteś tu: Działy tematyczneLiczby zespoloneProste działania na liczbach zespolonych

Proste działania na liczbach zespolonych

Zacznijmy od przypomnienia najważniejszego faktu: \[i^2=-1\] Działania na liczbach zespolonych wykonuje się bardzo podobnie jak na wyrażeniach algebraicznych. Wystarczy po prostu traktować jednostkę urojoną \(i\) jak \(x\)-a.
Przykłady:
  • Uprość wyrażenie 10 - 7i - 5 + 4i.
    Rozwiązanie:
    Gdyby zamienić literkę i na literkę x, to mielibyśmy do uproszczenia następujące wyrażenie algebraiczne: Z wyrażeniem zespolonym postępujemy analogicznie:
  • Uprość wyrażenie 5(3 - 2i) - i + 1.
    Rozwiązanie:
    Gdyby zamienić literkę i na literkę x, to mielibyśmy do uproszczenia następujące wyrażenie algebraiczne: Z wyrażeniem zespolonym postępujemy tak samo:
  • Uprość wyrażenie 5i2 + 6i - 1 - i(2 - i).
    Rozwiązanie:
    Gdyby zamienić literkę i na literkę x, to mielibyśmy do uproszczenia następujące wyrażenie algebraiczne: Z wyrażeniem zespolonym postępujemy tak samo: Zauważmy jeszcze, że w wyniku otrzymaliśmy wyrażenie i2, o którym wiemy, że i2 = -1.
    Możemy zatem kontynuować obliczenia i jeszcze bardziej uprościć wynik: Teraz już otrzymaliśmy najprostszy możliwy rezultat.
    Warto również zauważyć, że już na początku naszych obliczeń mogliśmy zamienić wyrażenie 5i2 na -5.
Analiza przykładu c) może nasunąć myśl, że działania na liczbach zespolonych są łatwiejsze, od działań na wyrażeniach algebraicznych. Istotnie tak jest!
W wyrażeniach algebraicznych gdy pojawia się x w wysokiej potędze, to często nie można z nim nic zrobić. W działaniach na liczbach zespolonych, gdy pojawi się i w wysokiej potędze, to zawsze da się je uprościć.
Korzystając z podstawowych działań na potęgach otrzymujemy własności:

Wyraźnie widać, że i podniesione do dowolnej potęgi zawsze da jedną z czterech liczb: i, -1, -i, 1.
Na 12 powyższych przykładach powinno już być widać regułę, jaka rządzi kolejnymi potęgami jednostki urojonej. Wyniki tych potęg są cyklicznie (w kółko) powtarzającymi się liczbami i, -1, -i, 1.
Tą obserwację można sformułować w następującym twierdzeniu:
Twierdzenie Niech n będzie liczbą naturalną. Wówczas:
  • i^n = i, jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 1.
  • i^n = -1, jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 2.
  • i^n = -i, jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 3.
  • i^n = 1, jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 0.
Obserwacja
Każde, dowolnie skomplikowane działanie na liczbach zespolonych da sie uprościć do prostej liczby zespolonej postaci a + bi.