Jesteś tu: Działy tematyczneFunkcja logarytmiczna

Funkcja logarytmiczna

Wprowadzenie do funkcji logarytmicznej
Wprowadzenie do funkcji logarytmicznej
Funkcja logarytmiczna ma wzór: \[f(x)=\log_ax\] Zakładamy przy tym, że \(a \gt 0\), \(a\ne 1\), \(x\gt 0\).
Wykresem tej funkcji jest krzywa która zawsze przecina oś \(Ox\) dla argumentu \(x = 1\).
Zasadniczy kształt wykresu zależy do tego czy \(a \gt 1\) czy \(a \lt 1\). Pokażemy oddzielnie te dwa przypadki.
Narysujemy wykres funkcji \(f(x) = \log_2x\).
Na początek obliczmy wartości tej funkcji dla kilku przykładowych argumentów \(x\). Sporządźmy zatem odpowiednią tabelkę:
\(x\)\(\frac{1}{4}\)\(\frac{1}{2}\)\(1\)\(2\)\(4\)
\(y=\log_2x\)\(-2\)\(-1\)\(0\)\(1\)\(2\)
Zatem wykres tej funkcji będzie wyglądał następująco:
Bardzo podobnie wyglądają wykresy innych funkcji logarytmicznych o podstawie \(a \gt 1\). Przykładowo: Własności funkcji logarytmicznej o podstawie \(a \gt 1\):
  • Dziedzina: \(\mathbb{R}^+ \).
  • Zbiór wartości: \(\mathbb{R} \).
  • Monotoniczność: funkcja jest rosnąca.
  • Różnowartościowość: funkcja jest różnowartościowa.
  • Miejsca zerowe: \(x = 1\).
  • Parzystość: nie jest.
  • Nieparzystość: nie jest.
Teraz zobaczymy jak wyglądają funkcje logarytmiczne o podstawie \(a \lt 1\).
Narysujemy wykres funkcji \(f(x) = \log_{\frac{1}{2}}x\).
Na początek obliczmy wartości tej funkcji dla kilku przykładowych argumentów \(x\). Sporządźmy zatem odpowiednią tabelkę:
\(x\)\(\frac{1}{4}\)\(\frac{1}{2}\)\(1\)\(2\)\(4\)
\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)\(2\)\(1\)\(0\)\(-1\)\(-2\)
Zatem wykres tej funkcji będzie wyglądał następująco:
Bardzo podobnie wyglądają wykresy innych funkcji logarytmicznych o podstawie \(a \lt 1\). Przykładowo: Własności funkcji logarytmicznej o podstawie \(a \lt 1\):
  • Dziedzina: \(\mathbb{R}^+ \).
  • Zbiór wartości: \(\mathbb{R}\).
  • Monotoniczność: funkcja jest malejąca.
  • Różnowartościowość: funkcja jest różnowartościowa.
  • Miejsca zerowe: \(x = 1\).
  • Parzystość: nie jest.
  • Nieparzystość: nie jest.