Jesteś tu: Działy tematyczneLiczby zespolone

Liczby zespolone

Wprowadzenie do liczb zespolonych
W tym nagraniu wideo omawiam najważniejsze wiadomości dotyczące liczb zespolonych.
Na filmiku są omówione:
  • definicja liczby zespolonej,
  • interpretacja geometryczna i algebraiczna,
  • sprzężenie, moduł i argument liczby zespolonej,
  • zasady wykonywania działań na liczbach zespolonych,
  • wzór de Moivre'a.
Czas filmu: 53 minuty.
Liczby zespolone wprowadzono z konieczności wyciągania pierwiastków z liczb ujemnych.
Przez całą szkołę średnią wmawia się uczniom, że "nie wolno wyciągać pierwiastka z liczby ujemnej!". Prawda ta zostaje całkowicie zburzona, gdy zaczynamy poznawać liczby zespolone. Dowiadujemy się wówczas, że: Czy to znaczy, że przez kilkanaście lat szkolnej edukacji byliśmy oszukiwani? Nie do końca. W realnym świecie w którym żyjemy nie występują przecież żadne liczby zespolone. Każdą wielkość fizyczną, którą jesteśmy w stanie zmierzyć, możemy zawsze wyrazić za pomocy liczb rzeczywistych. W naszym normalnym, rzeczywistym świecie nie istnieją jakieś niestworzone liczby urojone...
Można więc zadać sobie pytanie, po co ludzie wymyślili coś takiego jak liczby zespolone, skoro nie istnieją one w realnym świecie. Odpowiedź jest dość prosta. Bez nich nie dałoby się wielu przydatnych rzeczy (ze świata realnego) obliczyć.
Liczby zespolone są bardzo przydatnym narzędziem, które daje nam nowe możliwości obliczeniowe. Matematyk może na chwilę opuścić nasz realny świat, udać się do świata urojonego, tam wykonać różne magiczne działania, a następnie wrócić "na ziemię" z całkowicie rzeczywistym wynikiem. Gdy już zaakceptujemy istnienie liczb zespolonych, to dobrze byłoby gdybyśmy nauczyli się po nich poruszać (tzn. wykonywać na nich obliczenia). Do tego celu wystarczy przyjąć, że pierwiastek z -1 jest równy tzw. jednostce urojonej, którą umówiono się oznaczać literką i. Zapiszmy zatem jeszcze raz tą kluczową równość: Zauważmy od razu, że równoważna jest jej następująca równość: Powyższe wiadomości oraz wiedza ze szkoły średniej (umiejętność wykonywania działań na wyrażeniach algebraicznych, potęgowania, pierwiastkowania, znajomość wzorów skróconego mnożenia, itp.) pozwolą na wykonywanie wszystkich podstawowych działań na liczbach zespolonych.
Ale jak dokładnie wyglądają te liczby zespolone?
Każdą liczbę zespoloną można przedstawić jako sumę liczby rzeczywistej i urojonej (jest to takie zespolenie świata rzeczywistego i świata czysto urojonego). Oto przykładowe liczby zespolone:
Każda liczba rzeczywista jest liczbą zespoloną.
Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy symbolem C (ang complex number).
Zbiór liczb rzeczywistych jest podzbiorem zbioru liczb zespolonych, czyli .
Możemy zatem narysować następujący schemat zawierania się zbiorów liczbowych:
gdzie:
C - zbiór liczb naturalnych,
C - zbiór liczb całkowitych,
W - zbiór liczb wymiernych,
NW - zbiór liczb niewymiernych,
C - zbiór liczb rzeczywistych,
C - zbiór liczb zespolonych,