Zadania maturalne CKE

W tym dziale znajdują się rozwiązania zadań treningowych do matury, przygotowanych przez CKE.
Treści zadań można znaleźć tutaj, lub w informatorze maturalnym na stronie 75.
Zachęcam maturzystów do zapoznania się z tymi typami zadań, bo jest spora szansa, że podobne mogą pojawić się na prawdziwej maturze.

Zadanie . (1 pkt)

Liczba \( 3^{30}\cdot 9^{90} \) jest równa:
\(3^{210} \)
\(3^{300} \)
\(9^{120} \)
\(27^{2700} \)

Zadanie . (1 pkt)

Liczba \( 3^{\frac{8}{3}}\cdot \sqrt[3]{9^2} \) jest równa:
\(3^3 \)
\(3^{\frac{32}{9}} \)
\(3^4 \)
\(3^5 \)

Zadanie . (1 pkt)

Liczba \( \log 24 \) jest równa:
\(2\log 2+\log 20 \)
\(\log 6+2\log 2 \)
\(2\log 6-\log 12 \)
\(\log 30-\log 6 \)

Zadanie . (1 pkt)

Liczba \( 30 \) to \( p\% \) liczby \( 80 \), zatem:
\(p<40 \)
\(p=40 \)
\(p=42{,}5 \)
\(p>42{,}5 \)

Zadanie . (1 pkt)

\( 4\% \) liczby \( x \) jest równe \( 6 \), zatem:
\(x=150 \)
\(x\lt 150 \)
\(x=240 \)
\(x\gt 240 \)

Zadanie . (1 pkt)

Liczba \( y \) to \( 120\% \) liczby \( x \). Wynika stąd, że:
\(y=x+0{,}2 \)
\(y=x+0{,}2x \)
\(x=y-0{,}2 \)
\(x=y-0{,}2y \)

Zadanie . (1 pkt)

Rozwiązaniem równania \( \frac{x-3}{2-x}=\frac{1}{2} \) jest liczba:
\(-\frac{4}{3} \)
\(-\frac{3}{4} \)
\(\frac{3}{8} \)
\(\frac{8}{3} \)

Zadanie . (1 pkt)

Mniejszą z dwóch liczb spełniających równanie \( x^2+5x+6=0 \) jest
\(-6 \)
\(-3 \)
\(-2 \)
\(-1 \)

Zadanie . (1 pkt)

Liczba \( 1 \) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \( f(x)=(2-m)x+1 \). Wynika stąd, że
\(m=0 \)
\(m=1 \)
\(m=2 \)
\(m=3 \)

Zadanie . (1 pkt)

Funkcja \( f \) jest określona wzorem \( f(x)=\begin{cases} -3x+4 &\text{dla }x\lt 1\\ 2x-1 &\text{dla }x\ge 1 \end{cases} \). Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?
\(0 \)
\(1 \)
\(2 \)
\(3 \)

Zadanie . (1 pkt)

Rysunek przedstawia wykres funkcji \(y = f(x)\). Wskaż rysunek na którym jest przedstawiony wykres funkcji \(y = f(x + 1)\).

Zadanie . (1 pkt)

Który z zaznaczonych przedziałów jest zbiorem rozwiązań nierówności \(|2 - x| \le 3\).

Zadanie . (1 pkt)

Wskaż równanie osi symetrii paraboli określonej równaniem \( y=-x^2+4x-11 \).
\(x=-4 \)
\(x=-2 \)
\(x=2 \)
\(x=4 \)

Zadanie . (1 pkt)

Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział \( (-\infty ;3 \rangle \).
\(f(x)=-(x-2)^2+3 \)
\(f(x)=(2-x)^2+3 \)
\(f(x)=-(x+2)^2-3 \)
\(f(x)=(2-x)^2-3 \)

Zadanie . (1 pkt)

Zbiorem rozwiązań nierówności \( x^2\ge 5 \) jest
\(( -\infty ;-\sqrt{5} )\cup ( \sqrt{5};+\infty ) \)
\(( -\infty ;-\sqrt{5} \rangle \cup \langle \sqrt{5};+\infty ) \)
\(\langle \sqrt{5};+\infty ) \)
\(\langle 5;+\infty ) \)

Zadanie . (1 pkt)

Wykres funkcji kwadratowej \( f(x)=3(x+1)^2-4 \) nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu
\(y=1 \)
\(y=-1 \)
\(y=-3 \)
\(y=-5 \)

Zadanie . (1 pkt)

Prosta o równaniu \( y=a \) ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej \( f(x)=-x^2+6x-10 \). Wynika stąd, że
\(a=3 \)
\(a=0 \)
\(a=-1 \)
\(a=-3 \)

Zadanie . (1 pkt)

Jaka jest najmniejsza wartość funkcji kwadratowej \( f(x)=x^2+4x-3 \) w przedziale \( \langle 0, 3 \rangle \)?
\(-7 \)
\(-4 \)
\(-3 \)
\(-2 \)

Zadanie . (1 pkt)

Dane są wielomiany \( W(x)=3x^3-2x, V(x)=2x^2+3x \). Stopień wielomianu \( W(x)\cdot V(x) \) jest równy
\(6 \)
\(5 \)
\(4 \)
\(3 \)

Zadanie . (1 pkt)

Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie \( 5x^4-13=0 \)?
\(1 \)
\(2 \)
\(3 \)
\(4 \)

Zadanie . (1 pkt)

Wskaż liczbę rozwiązań równania \(\frac{11-x}{x^2-11}=0 \).
\(0 \)
\(1 \)
\(2 \)
\(3 \)

Zadanie . (1 pkt)

Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu \( y=2x-7 \).
\(y=-2x+7 \)
\(y=-\frac{1}{2}x+5 \)
\(y=\frac{1}{2}x+2 \)
\(y=2x-1 \)

Zadanie . (1 pkt)

Które z poniższych równań opisuje prostą prostopadłą do prostej o równaniu \( y=4x+5 \).
\(y=-4x+3 \)
\(y=-\frac{1}{4}x+3 \)
\(y=\frac{1}{4}x+3 \)
\(y=4x+3 \)

Zadanie . (1 pkt)

Punkty \( A=(-1,3)\) i \(C=(7,9) \) są przeciwległymi wierzchołkami prostokąta \( ABCD \). Promień okręgu opisanego na tym prostokącie jest równy
\(10 \)
\(6\sqrt{2} \)
\(5 \)
\(3\sqrt{2} \)

Zadanie . (1 pkt)

Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu \( (x+3)^2+(y-1)^2=4 \) z osiami układu współrzędnych jest równa
\(0 \)
\(1 \)
\(2 \)
\(4 \)

Zadanie . (1 pkt)

Środek \( S \) okręgu o równaniu \( x^2+y^2+4x-6y-221=0 \) ma współrzędne
\(S=(-2,3) \)
\(S=(2,-3) \)
\(S=(-4,6) \)
\(S=(4,-6) \)

Zadanie . (1 pkt)

Dane są długości boków \(|BC|=5\) i \(|AC|=3\) trójkąta prostokątnego \( ABC \) o kącie ostrym \( \beta \) .Wtedy
\(\sin \beta =\frac{3}{5} \)
\(\sin \beta =\frac{4}{5} \)
\(\sin \beta =\frac{3\sqrt{34}}{34} \)
\(\sin \beta =\frac{5\sqrt{34}}{34} \)

Zadanie . (1 pkt)

Kąt \( \alpha \) jest ostry i \( \sin \alpha =\frac{1}{4} \). Wówczas
\(\cos \alpha \lt \frac{3}{4} \)
\(\cos \alpha =\frac{3}{4} \)
\(\cos \alpha =\frac{\sqrt{13}}{4} \)
\(\cos \alpha >\frac{\sqrt{13}}{4} \)

Zadanie . (1 pkt)

Kąt \( \alpha \) jest kątem ostrym i \( \operatorname{tg} \alpha =\frac{1}{2} \). Jaki warunek spełnia kąt \( \alpha \)?
\(\alpha \lt 30^\circ \)
\(\alpha =30^\circ \)
\(\alpha =60^\circ \)
\(\alpha >60^\circ \)

Zadanie . (1 pkt)

Kąt między cięciwą \( AB \) a styczną do okręgu w punkcie \( A \) ma miarę \( \alpha =62^\circ \). Wówczas:
\(\beta =118^\circ \)
\(\beta =124^\circ \)
\(\beta =138^\circ \)
\(\beta =152^\circ \)

Zadanie . (1 pkt)

Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa \( 180^\circ \). Jak jest miara kąta środkowego?
\(60^\circ \)
\(90^\circ \)
\(120^\circ \)
\(135^\circ \)

Zadanie . (1 pkt)

Różnica miar kątów wewnętrznych przy ramieniu trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem, jest równa \( 40^\circ \). Miara kąta przy krótszej podstawie jest równa.
\(120^\circ \)
\(110^\circ \)
\(80^\circ \)
\(70^\circ \)

Zadanie . (1 pkt)

Odcinki \( BC\) i \(DE \) są równoległe. Długości odcinków \( AC, CE \) i \( BC \) są podane na rysunku. Długość odcinka \( DE \) jest równa
\(6 \)
\(8 \)
\(10 \)
\(12 \)

Zadanie . (1 pkt)

Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu \( 4 \) cm jest równe
\(64\) cm2
\(32\) cm2
\(16\) cm2
\(8\) cm2

Zadanie . (1 pkt)

Ciąg \(a_n\) jest określony wzorem \(a_n=(-3)^n\cdot (9-n^2)\) dla \(n\ge 1\). Wynika stąd, że
\( a_3=-81 \)
\( a_3=-27 \)
\( a_3=0 \)
\( a_3>0 \)

Zadanie . (1 pkt)

Liczby \(x-1,\ 4,\ 8\) (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba \(x\) jest równa
\( 3 \)
\( 1 \)
\( -1 \)
\( -7 \)

Zadanie . (1 pkt)

Liczby \(-8,\ 4,\ x+1\) (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wówczas liczba \(x\) jest równa.
\( -3 \)
\( -1{,}5 \)
\( 1 \)
\( 15 \)

Zadanie . (1 pkt)

Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które są podzielne przez \(6\) lub przez \(10\), jest
\( 25 \)
\( 24 \)
\( 21 \)
\( 20 \)

Zadanie . (1 pkt)

Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry są mniejsze od \(5\) jest
\( 16 \)
\( 20 \)
\( 25 \)
\( 30 \)

Zadanie . (1 pkt)

Liczba sposobów, na jakie Ala i Bartek mogą usiąść na dwóch spośród pięciu miejsc w kinie, jest równa
\( 25 \)
\( 20 \)
\( 15 \)
\( 12 \)

Zadanie . (1 pkt)

Mediana danych: \(0, 1, 1, 2, 3, 1\) jest równa
\( 1 \)
\( 1{,}5 \)
\( 2 \)
\( 2{,}5 \)

Zadanie . (1 pkt)

Mediana danych przedstawionych w tabeli liczebności jest równa
wartość \(0\) \(1\) \(2\) \(3\)
liczebność \(5\) \(2\) \(1\) \(1\)
\( 0 \)
\( 0{,}5 \)
\( 1 \)
\( 5 \)

Zadanie . (1 pkt)

Średnia arytmetyczna danych przedstawionych na diagramie częstości jest równa
\( 1 \)
\( 1{,}2 \)
\( 1{,}5 \)
\( 1{,}8 \)

Zadanie . (1 pkt)

Ze zbioru liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\) wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez \(3\). Wtedy
\( p\lt 0{,}25 \)
\( p=0{,}25 \)
\( p=\frac{1}{3} \)
\( p>\frac{1}{3} \)

Zadanie . (1 pkt)

O zdarzeniach losowych \(A\) i \(B\) zawartych w \(\Omega \) wiadomo, że \(B\subset A\), \(P(A)=0{,}7\) i \(P(B)=0{,}3\). Wtedy
\( P(A\cup B)=1 \)
\( P(A\cup B)=0{,}7 \)
\( P(A\cup B)=0{,}4 \)
\( P(A\cup B)=0{,}3 \)

Zadanie . (1 pkt)

Przekątna sześcianu ma długość \(3\). Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe
\( 54 \)
\( 36 \)
\( 18 \)
\( 12 \)

Zadanie . (1 pkt)

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \(24\) cm2. Objętość tego sześcianu jest równa
\( 8 \) cm3
\( 16 \) cm3
\( 27 \) cm3
\( 64 \) cm3

Zadanie . (1 pkt)

Przekątna prostopadłościanu o wymiarach \(2 \times 3 \times 5\) ma długość
\( \sqrt{13} \)
\( \sqrt{29} \)
\( \sqrt{34} \)
\( \sqrt{38} \)

Zadanie . (1 pkt)

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości \(6\). Objętość tego walca jest równa
\( 18\pi \)
\( 54\pi \)
\( 108\pi \)
\( 216\pi \)

Zadanie . (1 pkt)

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku długości \(6\). Pole powierzchni bocznej tego stożka jest równe:
\( 12\pi \)
\( 18\pi \)
\( 27\pi \)
\( 36\pi \)

Zadanie . (2 pkt)

Rozwiąż równanie \(\frac{2-3x}{1-2x}=-\frac{1}{2}\).

Zadanie . (2 pkt)

Rozwiąż układ równań \(\begin{cases} x+3y=5\\ 2x-y=3 \end{cases} \).

Zadanie . (2 pkt)

Rozwiąż nierówność \(x^2+6x-7\le 0\).

Zadanie . (2 pkt)

Rozwiąż równanie \(2x^3-x^2-6x+3=0\).

Zadanie . (2 pkt)

O funkcji liniowej \(f\) wiadomo, że \(f(1)=2\) oraz, że do wykresu tej funkcji należy punkt \(P = (-2,3)\). Wyznacz wzór funkcji \(f\).

Zadanie . (2 pkt)

Oblicz miejsca zerowe funkcji \[f(x)=\begin{cases} 2x+1\quad \text{dla }x\le 0\\ x+2\quad \text{dla }x>0 \end{cases} \]

Zadanie . (2 pkt)

Naszkicuj wykres funkcji \[f(x)=\begin{cases} 2x+1\quad \text{dla }x\le 0\\ x+2\quad \text{dla }x>0 \end{cases} \]

Zadanie . (2 pkt)

Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x+1\) w przedziale \(\langle 0,1 \rangle\).

Zadanie . (2 pkt)

Wielomiany \(W(x)=ax(x+b)^2\) i \(V(x)=x^3+2x^2+x\) są równe. Oblicz \(a\) i \(b\).

Zadanie . (2 pkt)

Wyrażenie \(\frac{3}{x-3}-\frac{x}{x+1}\) zapisz w postaci ilorazu dwóch wielomianów.

Zadanie . (2 pkt)

Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu \(2x-y-11=0\) i przechodzącej przez punkt \(P=(1,2)\).

Zadanie . (2 pkt)

Wyznacz równanie okręgu stycznego do osi \(Oy\), którego środkiem jest punkt \(S=(3, -5)\).

Zadanie . (2 pkt)

Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie \(S = (3, -5)\) przechodzącego przez początek układu współrzędnych.

Zadanie . (2 pkt)

Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową \(CD\) trójkąta \(ABC\), którego wierzchołkami są punkty \(A=(-2, -1)\), \(B = (6, 1)\), \(C = (7, 10)\).

Zadanie . (2 pkt)

W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości \(2\) i \(4\), jeden z kątów ostrych ma miarę \(\alpha \). Oblicz \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha \).

Zadanie . (2 pkt)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{1}{4}\). Oblicz \(3+2\operatorname{tg}^2\alpha \).

Zadanie . (2 pkt)

Punkt \(D\) leży na boku BC trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Odcinek \(AD \) dzieli trójkąt \(ABC\) na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że \(|AB| = |AD| = |CD|\). Oblicz miary kątów trójkąta \(ABC\).

Zadanie . (2 pkt)

Oblicz pole trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AB| = 24\) i \(|AC| = |BC| = 13\).

Zadanie . (2 pkt)

Liczby \(4, 10, c\) są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz \(c\).

Zadanie . (2 pkt)

Liczby \(6, 10, c\) są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz \(c\).

Zadanie . (2 pkt)

Liczby \(6, 10, c\) są długościami boków trójkąta prostokątnego. Oblicz \(c\).

Zadanie . (2 pkt)

Liczby \(x - 1, x, 5\) są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz \(x\).

Zadanie . (2 pkt)

Obwód czworokąta wypukłego \(ABCD\) jest równy \(50\) cm. Obwód trójkąta \(ABD\) jest równy \(46\) cm, a obwód trójkąta \(BCD\) jest równy \(36\) cm. Oblicz długość przekątnej \(BD\).

Zadanie . (2 pkt)

Ile wyrazów ujemnych ma ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n = n^2 - 2n - 24\) dla \(n \ge 1\)?

Zadanie . (2 pkt)

Liczby \(2, x-3, 8\) w podanej kolejności są pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz \(x\).

Zadanie . (2 pkt)

Wyrazami ciągu arytmetycznego \((a_n)\) są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez \(5\) dają resztę \(2\). Ponadto \(a_3 = 12\). Oblicz \(a_{15}\).

Zadanie . (2 pkt)

Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste.

Zadanie . (2 pkt)

Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez \(15\) lub \(20\)?

Zadanie . (2 pkt)

Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których cyfra dziesiątek jest o \(2\) większa od cyfry jedności?

Zadanie . (2 pkt)

Na jednej prostej zaznaczono \(3\) punkty, a na drugiej \(4\) punkty. Ile jest wszystkich trójkątów, których wierzchołkami są trzy spośród zaznaczonych punktów?

Zadanie . (2 pkt)

Średnia arytmetyczna liczb: \(3, 1, 1, 0, x, 0\) jest równa \(2\). Oblicz \(x\).

Zadanie . (2 pkt)

Oblicz średnią arytmetyczną danych przedstawionych na poniższym diagramie częstości.

Zadanie . (2 pkt)

Oblicz medianę danych: \(0, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 1\).

Zadanie . (2 pkt)

Oblicz medianę danych przedstawionych w postaci tabeli liczebności
wartość \(0\) \(1\) \(2\) \(3\)
liczebność \(4\) \(3\) \(1\) \(1\)

Zadanie . (2 pkt)

Ze zbioru liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}\) wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez \(3\) lub przez \(2\).

Zadanie . (2 pkt)

Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez \(15\).

Zadanie . (2 pkt)

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu oczek równego \(5\).

Zadanie . (2 pkt)

\(A\) i \(B\) są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w \(\Omega \), że \(A\subset B\) oraz \(P(A)=0{,}3\) i \(P(B)=0{,}4\). Oblicz \(P(A\cup B)\).

Zadanie . (2 pkt)

\(A\) i \(B\) są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w \(\Omega \), że \(A\subset B\) oraz \(P(A)=0{,}3\) i \(P(B)=0{,}7\). Oblicz prawdopodobieństwo różnicy \(B\backslash A\).

Zadanie . (2 pkt)

Przekątna sześcianu ma długość \(9\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.

Zadanie . (2 pkt)

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości \(12\). Wysokość stożka jest równa \(8\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.

Zadanie . (2 pkt)

Oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu, a jego płaszczyzną podstawy.

Zadanie . (2 pkt)

Czworokąty \(ABCD\) i \(APQR\) są kwadratami. Udowodnij, że \(|BP| = |DR|\).

Zadanie . (2 pkt)

Na boku \(BC\) trójkąta \(ABC\) wybrano punkt \(D\) tak, by \(|\sphericalangle CAD| = |\sphericalangle ABC|\). Odcinek \(AE\) jest dwusieczną kąta \(DAB\). Udowodnij, że \(|AC| = |CE|\).

Zadanie . (5 pkt)

Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr wybranych ze zbioru \(\{0,1,2,3\}\).

Zadanie . (5 pkt)

Z pojemnika, w którym są dwa losy wygrywające i trzy losy puste, losujemy dwa razy po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najmniej jeden los wygrywający. Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego.

Zadanie . (5 pkt)

Z miejscowości \(A\) i \(B\) oddalonych od siebie o \(182\) km wyjeżdżają naprzeciw siebie dwaj rowerzyści. Rowerzysta jadący z miejscowości \(B\) do miejscowości \(A\) jedzie ze średnią prędkością mniejszą od \(25\) km/h. Rowerzysta jadący z miejscowości \(A\) do miejscowości \(B\) wyjeżdża o \(1\) godzinę wcześniej i jedzie ze średnią prędkością o \(7\) km/h większą od średniej prędkości drugiego rowerzysty. Rowerzyści spotkali się w takim miejscu, że rowerzysta jadący z miejscowości \(A\) przebył do tego miejsca \(\frac{9}{13}\) całej drogi z \(A\) do \(B\). Z jakimi średnimi prędkościami jechali obaj rowerzyści?

Zadanie . (5 pkt)

Uczeń przeczytał książkę liczącą \(480\) stron, przy czym każdego dnia czytał taką samą liczbę stron. Gdyby czytał każdego dnia o \(8\) stron więcej, to przeczytałby tę książkę o \(3\) dni wcześniej. Oblicz, ile dni uczeń czytał tę książkę.

Zadanie . (6 pkt)

Liczby \(a, b, c\) tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa \(93\). Te same liczby, w podanej kolejności są pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz \(a, b\) i \(c\).

Zadanie . (5 pkt)

Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego wyrazów jest równa \(10\), a wyrazy trzeci, piąty i trzynasty tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny.

Zadanie . (5 pkt)

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Pole trójkąta równoramiennego \(ACS\) jest równe \(120\) oraz \(|AC| : |AS| = 10 : 13\) . Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Zadanie . (5 pkt)

Podstawą ostrosłupa \(ABCDE\) jest kwadrat \(ABCD\). Punkt \(F\) jest środkiem krawędzi \(AD\), odcinek \(EF\) jest wysokością ostrosłupa (patrz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli wiadomo, że \(|AE|=15\), \(|BE|=17\).

Zadanie . (6 pkt)

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|BC| = 30\), \(|AC| = 40\), \(|AB| = 50\). Punkt \(W\) jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Okrąg wpisany w trójkąt \(ABC\) jest styczny do boku \(AB\) w punkcie \(M\). Oblicz długość odcinka \(CM\).

Zadanie . (5 pkt)

Na zewnątrz trójkąta prostokątnego \(ABC\), w którym \(|\sphericalangle ACB| = 90\) oraz \(|AC| = 5\), \(|BC| = 12\) zbudowano kwadrat \(ACDE\) (patrz rysunek). Punkt \(H\) leży na prostej \(AB\) i kąt \(|\sphericalangle EHA| = 90^\circ\). Oblicz pole trójkąta \(HAE\).

Zadanie . (5 pkt)

Wykaż, że prawdziwa jest nierówność \(\sqrt{2^{50} + 1} + \sqrt{2^{50} - 1} \lt 2^{26}\).

Zadanie . (5 pkt)

Udowodnij, że jeśli:
a) \(x, y\) są liczbami rzeczywistymi, to \(x^2 + y^2 \ge 2xy\).
b) \(x, y, z\) są liczbami rzeczywistymi takimi, że \(x + y + z = 1\), to \(x^2 + y^2 + z^2 \ge 1/3\).

Zadanie . (5 pkt)

Punkt \(D\) leży na boku \(BC\) trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Odcinek \(AD\) dzieli trójkąt \(ABC\) na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że \(|AD| = |CD|\) oraz \(|AB| = |BD|\) (patrz rysunek). Udowodnij, że \(|\sphericalangle ADC| = 5\cdot |\sphericalangle ACD| \) .

Zadanie . (5 pkt)

Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku \(O\) i średnicach odpowiednio \(AB\) i \(CD\) (punkty \(A, B, C, D\) i \(O\) są współliniowe). Punkt \(P\) leży na wewnętrznym półokręgu, punkt \(R\) leży na zewnętrznym półokręgu, punkty \(O, P\) i \(R\) są współliniowe. Udowodnij, że \(|\sphericalangle APB| + |\sphericalangle CRD| = 180^\circ\).