Wykres proporcjonalności odwrotnej

Wykresem funkcji określonej wzorem \( f(x)=\frac{a}{x} \) jest hiperbola.

Narysuj wykres funkcji \(f(x)=\frac{1}{x}\).

Dziedzina tej funkcji to \(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\).
Żeby narysować wykres wyznaczamy kilka punktów należących do tego wykresu:

\( x \)	\( -2 \)	\( -1 \)	\( -\frac{1}{4} \)	\( \frac{1}{2} \)	\( 1 \)	\( 2 \)	\( 3 \)
\( f(x)=\frac{1}{x} \)	\( -\frac{1}{2} \)	\( -1 \)	\( -4 \)	\( 2 \)	\( 1 \)	\( \frac{1}{2} \)	\( \frac{1}{3} \)

Zatem:

Przykłady funkcji \( f(x)=\frac{a}{x} \) dla dodatnich współczynników \(a\).

Własności funkcji o dodatnim współczynniku \(a\):

Dziedzina: \(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\).
Brak miejsc zerowych.
Funkcja jest malejąca w dwóch przedziałach \((-\infty ,0)\) oraz \((0, +\infty )\). Uwaga! Funkcja nie jest malejąca na całej swojej dziedzinie.

Wykres funkcji \( f(x)=\frac{a}{x} \) jest zawsze symetryczny względem początku układu współrzędnych.
Żeby narysować hiperbolę wystarczy narysować jedno ramię, a drugie będzie jej symetrycznym odbiciem.

Przykłady funkcji \( f(x)=\frac{a}{x} \) dla ujemnych współczynników \(a\).

Własności funkcji o ujemnym współczynniku \(a\):

Dziedzina: \(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\).
Brak miejsc zerowych.
Funkcja jest rosnąca w dwóch przedziałach \((-\infty ,0)\) oraz \((0, +\infty )\). Uwaga! Funkcja nie jest rosnąca na całej swojej dziedzinie.

Ramiona wykresu funkcji \( f(x)=\frac{a}{x} \) zbliżają się do prostych \(y=0\) (oś \(x\)-ów) oraz \(x=0\) (oś \(y\)-ów). Takie proste nazywamy asymptotami wykresu funkcji - odpowiednio asymptotą poziomą i asymptotą pionową.

Samochód jadący z prędkością \(80 \frac{\text{km}}{\text{h}}\) pokonuje pewną drogę w \(3\) godziny. Wyznacz funkcję opisującą czas podróży w zależności od prędkości oraz naszkicuj jej wykres.

Wprowadźmy oznaczenia:

\( v \) - prędkość
\( t \) - czas

Długość drogi jest stała i możemy ją obliczyć mnożąc prędkość jazdy przez czas jazdy: \[80\cdot 3 = 240\ [\text{km}]\] Prędkość i czas są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, zatem mamy: \[v\cdot t= 240\] Czyli: \[t=\frac{240}{v}\] Możemy powyższy wzór zapisać "bardziej profesjonalnie" w taki sposób: \[t(v)=\frac{240}{v}\] Dla tak otrzymanego wzoru funkcji wyznaczamy kilka punktów:

\( v \)	\( 2 \)	\( 10 \)	\( 20 \)	\( 30 \)	\( 80 \)
\( t(v)=\frac{240}{v} \)	\( 120 \)	\( 24 \)	\( 12 \)	\( 8 \)	\( 3 \)

i rysujemy wykres:

Z wykresu (oraz z tabelki) możemy odczytać, że:

z prędkością \( 2 \frac{\text{km}}{\text{h}} \) motocyklista będzie jechał \( 120 \) godzin.
z prędkością \( 10 \frac{\text{km}}{\text{h}} \) motocyklista będzie jechał \( 24 \) godziny.
z prędkością \( 20 \frac{\text{km}}{\text{h}} \) motocyklista będzie jechał \( 12 \) godzin.
z prędkością \( 30 \frac{\text{km}}{\text{h}} \) motocyklista będzie jechał \( 8 \) godzin.

Zauważmy, że w tym przykładzie narysowaliśmy tylko jedno ramię hiperboli, ponieważ prędkość i czas mogą przyjmować tylko wartości dodatnie.
Można powiedzieć, że dziedziną funkcji \(t(v)=\frac{240}{v}\) jest \(v\in (0, +\infty )\) (dla uproszczenia pomijamy tutaj ograniczenia związane z prędkością światła i efekty z tym związane).