Wartość bezwzględna

Definicja wartości bezwzględnej

Wartość bezwzględną liczby \(x\) oznaczamy symbolem \(|x|\).
Wartość bezwzględna z liczby dodatniej, to ta sama liczba dodatnia.
Przykłady:
  • \(|6|=6\)
  • \(|11,3|=11,3\)
  • \(|1+\sqrt{3}|=1+\sqrt{3}\)
Wartość bezwzględna z liczby ujemnej, to liczba do niej przeciwna.
Przykłady:
  • \(|-5|=-(-5)=5\)
  • \(|-11,3|=-(-11,3)=11,3\)
  • \(|-1-\sqrt{3}|=-(-1-\sqrt{3})=1+\sqrt{3}\)
  • \(|1-\sqrt{5}|=-(1-\sqrt{5})=-1+\sqrt{5}\)
  • \(|\sqrt{2}-2|=-(\sqrt{2}-2)=-\sqrt{2}+2\)
Wartość bezwzględna z zera jest równa zero, czyli: \(|0|=0\)
Definicja Wartością bezwzględną dowolnej liczby rzeczywistej \(x\) jest:
  • ta sama liczba rzeczywista \(x\), gdy \(x\ge 0\)
  • liczba \(-x\) (przeciwna do \(x\)), gdy \(x\lt 0\)
Matematycznie zapiszemy to tak: \[|x|=\begin{cases}x &\text{ dla } x \ge 0\\-x &\text{ dla } x < 0\end{cases} \]
Zawsze przed opuszczeniem wartości bezwzględnej musimy ustalić, czy liczba pod nią jest dodatnia, czy ujemna.
Przykłady: Opuść wartość bezwzględną z liczby
  • \(|3\frac{1}{2}-\sqrt{3}|\)
    Przed opuszczeniem wartości bezwzględnej musimy ustalić, czy liczba \(3\frac{1}{2}-\sqrt{3}\) jest dodatnia, czy ujemna. W tym celu przybliżamy wartość pierwiastka: \[3\frac{1}{2}-\sqrt{3} \cong 3\frac{1}{2}-1,73=1,77\] Czyli liczba \(3\frac{1}{2}-\sqrt{3}\) jest dodatnia, zatem opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku: \[|3\frac{1}{2}-\sqrt{3}| = 3\frac{1}{2}-\sqrt{3}\]
  • \(|\sqrt{2}-\sqrt{3}|\)
    Przed opuszczeniem wartości bezwzględnej musimy ustalić, czy liczba \(\sqrt{2}-\sqrt{3}\) jest dodatnia, czy ujemna. W tym celu przybliżamy wartości obu pierwiastków: \[\sqrt{2}-\sqrt{3} \cong 1{,}41 - 1{,}73 = -0,34\] Czyli liczba \(\sqrt{2}-\sqrt{3}\) jest ujemna, zatem opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku: \[|\sqrt{2}-\sqrt{3}| = -(\sqrt{2}-\sqrt{3}) = -\sqrt{2}+\sqrt{3}\]
  • \(|\pi - 3\sqrt{2}|\)
    Przed opuszczeniem wartości bezwzględnej musimy ustalić, czy liczba \(\pi - 3\sqrt{2}\) jest dodatnia, czy ujemna. W tym celu przybliżamy wartości liczby \(\pi\) i pierwiastka: \[\pi - 3\sqrt{2} \cong 3{,}14 - 3\cdot 1{,}41 = 3{,}14 - 4{,}23 = -1{,}09\] Czyli liczba \(\pi - 3\sqrt{2}\) jest ujemna, zatem opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku: \[|\pi - 3\sqrt{2}|=-(\pi - 3\sqrt{2})=-\pi + 3\sqrt{2}\]
Bezpośrednio z definicji wartości bezwzględnej wynika, że \(|x|\) jest zawsze liczbą nieujemną.
Ponadto, zgodnie z definicją pierwiastka arytmetycznego (który musi być zawsze nieujemny), dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) zachodzi: \[\sqrt{x^2} = |x|\]
Przykłady:
  • \(\sqrt{5^2}=|5|=5\)
  • \(\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5\)
  • \(\sqrt{(1+\sqrt{2})^2}=|1+\sqrt{2}|=1+\sqrt{2}\)
  • \(\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}=|1-\sqrt{2}|=-(1-\sqrt{2})=-1+\sqrt{2}\)

Zadanie .

Liczba \(|5-7|-|-3+4|\) jest równa
\( -3 \)
\( -5 \)
\( 1 \)
\( 3 \)
Reklamy

Zadanie .

Wartość bezwzględna z liczby \(x=\frac{(1{,}5)^2-1{,}2:4{,}8}{-2\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{7}}\) jest równa
\( 4 \)
\( 6 \)
\( \frac{2}{3} \)
\( -\frac{2}{3} \)

Zadanie .

Liczba \(|1{,}(41)-\sqrt{2}|\) jest równa
\( 1{,}(41)-\sqrt{2} \)
\( 1{,}(41)+\sqrt{2} \)
\( \sqrt{2}-1{,}(41) \)
\( -\sqrt{2}-1{,}(41) \)
Reklama