Jesteś tu: Działy tematyczneWielomianyKrotność pierwiastka wielomianu

Krotność pierwiastka wielomianu

Do wyznaczenia pierwiastków wielomianu oraz ich krotności, należy rozłożyć wielomian na iloczyn czynników.
Wówczas krotność pierwiastka wielomianu, to potęga nawiasu, który zeruje dany pierwiastek.
Dla wielomianu zapisanego w postaci iloczynowej łatwo jest odczytać pierwiastki i ich krotności:
Dla wielomianu \(W(x) = (x + 2)^7(x + 11)^3(x - 5)^2\) wyznacz pierwiastki oraz ich krotności.
Pierwiastki wielomianu wyznaczamy rozwiązując proste równanie wielomianowe: \[\begin{split} (x + 2)^7(x + 11)^3(x - 5)^2 &= 0\\[6pt] x + 2 = 0 \quad &\lor \quad x + 11 = 0 \quad &\lor \quad x - 5 = 0\\[6pt] x = -2 \quad &\lor \quad x = -11 \quad &\lor \quad x = 5 \end{split}\] Teraz określamy krotności tych pierwiastków:
Dla wielomianu \(W(x) = x^3(x - 1)^{10}(x + 2)^9(x + 1)^8\) wyznacz pierwiastki i określ ich krotności.
Pierwiastki wielomianu wyznaczamy rozwiązując równanie wielomianowe: \[\begin{split} x^3(x - 1)^{10}(x + 2)^9(x + 1)^8 &= 0\\[6pt] x = 0 \quad &\lor \quad x - 1 = 0 \quad &\lor \quad x + 2 = 0\quad &\lor \quad x + 1 = 0\\[6pt] x = 0 \quad &\lor \quad x = 1 \quad &\lor \quad x = -2\quad &\lor \quad x = -1 \end{split}\] Teraz określamy krotności tych pierwiastków:
Wyznacz pierwiastki wielomianu \(W(x) = x^2(x - 1)(x + 1)\) i określ ich krotności.
Pierwiastki wielomianu wyznaczamy rozwiązując równanie wielomianowe: \[\begin{split} x^2(x - 1)(x + 1) &= 0\\[6pt] x = 0 \quad &\lor \quad x - 1 = 0 \quad &\lor \quad x + 1 = 0\\[6pt] x = 0 \quad &\lor \quad x = 1 \quad &\lor \quad x = -1 \end{split}\] Teraz określamy krotności tych pierwiastków:
Wyznacz pierwiastki wielomianu \(W(x) = x^4 + 2x^3 - 6x^2 - 12x\) i określ ich krotności.
Pierwiastki wielomianu wyznaczamy rozwiązując równanie wielomianowe: \[\begin{split} x^4 + 2x^3 - 6x^2 - 12x &= 0\\[6pt] x(x^3 + 2x^2 - 6x - 12) &= 0\\[6pt] x(x^2(x + 2) - 6(x + 2)) &= 0\\[6pt] x(x + 2)(x^2 - 6) &= 0\\[6pt] x(x + 2)(x - \sqrt{6})(x + \sqrt{6}) &= 0\\[6pt] x = 0 \quad &\lor \quad x +2 = 0 \quad &\lor \quad x -\sqrt{6} = 0&\lor \quad x +\sqrt{6} = 0\\[6pt] x = 0 \quad &\lor \quad x = -2 \quad &\lor \quad x = \sqrt{6}\quad &\lor \quad x = -\sqrt{6} \end{split}\] Teraz zapisujemy wielomian w postaci iloczynowej i określamy krotności pierwiastków: