Pochodna ilorazu funkcji

Jeżeli obie funkcje \(f(x)\) i \(g(x)\) są różniczkowalne, to pochodną ilorazu tych funkcji obliczamy według wzoru: \[\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x)}{g^2(x)}\]

Dane są funkcje \(f(x)=3 x^2\) i \(g(x)=\sin x\). Oblicz pochodną ilorazu \(\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'\).

Liczymy pochodną ilorazu według wzoru: \[\left(\frac{3 x^2}{\sin x}\right)^{\prime}=\frac{\left(3 x^2\right)^{\prime} \sin x-3 x^2(\sin x)^{\prime}}{\sin ^2 x}=\frac{6 x \sin x-3 x^2 \cos x}{\sin ^2 x}\]

Oblicz pochodną funkcji \(f(x) =\frac{3 x^5-4 x^2+7}{x+5}\).

\begin{aligned} f^{\prime}(x) & =\frac{\left(3 x^5-4 x^2+7\right)^{\prime} \cdot(x+5)-\left(3 x^5-4 x^2+7\right) \cdot(x+5)^{\prime}}{(x+5)^2}= \\ & =\frac{\left(15 x^4-8 x\right)(x+5)-\left(3 x^5-4 x^2+7\right) \cdot 1}{(x+5)^2}= \\ & =\frac{15 x^5+75 x^4-8 x^2-40 x-3 x^5+4 x^2-7}{(x+5)^2}= \\ & =\frac{12 x^5+75 x^4-4 x^2-40 x-7}{(x+5)^2} \end{aligned}

Oblicz pochodną funkcji