Pochodne

Definicja pochodnej funkcji

Załóżmy, że mamy daną funkcję \(f(x)\) oraz argument \(x_0\) w otoczeniu którego funkcja \(f(x)\) jest określona. Wówczas pochodną funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_0\) oznaczamy symbolem: \[f'(x_0)\] i definiujemy jako następującą granicę: \[f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\] Powyższa definicja pochodnej zazwyczaj podawana jest w podręcznikach szkolnych. Na studiach częściej pojawia się następująca definicja: \[f'(x_0)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\] Obie definicje są równoważne i w zależności od podręcznika - autor może posługiwać się pierwszą bądź drugą. Najprostszym sposobem na oznaczanie pochodnej funkcji jest symbol \(f'(x)\). Czasami można spotkać się z innymi oznaczeniami. Oto najczęściej spotykane:
  • \(\frac{df(x)}{dx}\) (oznaczenie wprowadzone przez Leibniza)
  • \(f'(x)\) (oznaczenie wprowadzone przez Lagrange'a)
  • \(Df(x)\) (oznaczenie wprowadzone przez Cauchy'ego)
W przypadku gdy funkcję zadamy wzorem postaci \(y = \text{[wzór funkcji]}\), to pochodne oznaczamy w następujący sposób:
  • \(\frac{dy}{dx}\) (oznaczenie wprowadzone przez Leibniza)
  • \(y'\) (oznaczenie wprowadzone przez Lagrange'a)
  • \(Dy\) (oznaczenie wprowadzone przez Cauchy'ego)
Pochodne funkcji można liczyć bezpośrednio z definicji, chociaż znacznie prościej jest korzystać z gotowych wzorów. Nie musimy wtedy liczyć żadnych granic, tylko stosujemy wzory i proste reguły liczenia pochodnych. W tym rozdziale zobaczymy jednak jak można wyznaczać pochodne funkcji bezpośrednio z definicji.
Przykład .
Oblicz pochodną funkcji \(f(x) = x^2\) w punkcie \(x_0 = 2\).
Rozwiązanie:
Liczymy wartość pochodnej w punkcie \(x_0\) korzystając z definicji: \[ \begin{split} f'(2)&=\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^2-2^2}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{4+4h+h^2-4}{h}\\[6pt] &=\lim_{h \to 0} \frac{4h+h^2}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{h(4+h)}{h} =\lim_{h \to 0} (4+h) = 4 \end{split} \] Możemy również policzyć z definicji wzór ogólny pochodnej dla tej funkcji:
\[ \begin{split} f'(x)&=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}\\[6pt] &=\lim_{h \to 0} \frac{2hx+h^2}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{h(2x+h)}{h} =\lim_{h \to 0} (2x+h) = 2x \end{split} \] Czyli ostatecznie: \[f'(x)=2x\] Można też napisać równoważnie: \[(x^2)'=2x\] Korzystając z tak wyliczonego wzoru możemy teraz obliczyć wartość pochodnej w dowolnym punkcie, np.: \[ f'(2)=2\cdot 2=4\\[6pt] f'(0)=2\cdot 0=0\\[6pt] f'(-5)=2\cdot (-5)=-10\\[6pt] \] Praktycznie zawsze opłaca się najpierw policzyć pochodną funkcji (zwłaszcza, że mamy do dyspozycji gotowe wzory na liczenie pochodnych), a dopiero potem wyznaczyć jej wartość w konkretnym punkcie.
Przykład .
Oblicz pochodną funkcji \(f(x) = x^3 - 2x\).
Rozwiązanie:
Liczymy pochodną korzystając z definicji: \[ \begin{split} f'(x)&=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{\Bigl((x+h)^3-2(x+h)\Bigl)-(x^3-2x)}{h}=\\[6pt] &=\lim_{h \to 0} \frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-2x-2h-x^3+2x}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{3x^2h+3xh^2+h^3-2h}{h}=\\[6pt] &=\lim_{h \to 0} \frac{h(3x^2+3xh+h^2-2)}{h} =\lim_{h \to 0} (3x^2+3xh+h^2-2)=3x^2-2 \end{split} \] Zatem: \[f'(x)=3x^2-2\] Można napisać równoważnie: \[(x^3 - 2x)'=3x^2-2\]
Reklama