Liczba e

Liczbę Eulera (zwaną również pod nazwą liczby Nepera) oznaczamy krótko literą \(e\). Wartość tej liczby można określić w przybliżeniu: \[e = 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995...\] Liczbę \(e\) można definiować na wiele różnych sposobów. Najczęściej spotykana jest definicja wykorzystująca następującą granicę: \[\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\] Równie często definiuje się liczbę \(e\) jako sumę szeregu: \[e=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+... \] Powyższy wzór można z powodzeniem wykorzystywać do obliczania wartości liczby \(e\) z dużą dokładnością. Suma zaledwie \(10\) pierwszych wyrazów tego szeregu, daje całkiem niezłe oszacowanie liczby Eulera.

Zaprezentowane powyżej przedstawienie liczby e w postaci szeregu jest szczególnym przypadkiem rozwinięcia funkcji wykładniczej \(f(x) = e^x\) w tzw. szereg Maclaurina: \[e^x=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}\]